本章介绍微积分求导的一些技巧，如链式法则。对含幂函数的根式函数分解为简单形式并逐步求导；对复合函数通过替换和多次链式法则求导；对复杂的平方根和立方根乘积，通过幂函数形式化简后求导；直接求解幂函数相对于另一幂函数的导数
第 9 章 介绍一种实用的技巧
有时，我们会发现需要求导的表达式过于复杂，直接处理很困难。
例如，方程：
\[ y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}} \]
对于初学者来说可能显得很棘手。
现在，解决这一难题的技巧是：用某个符号（如 $u$）代替表达式 $x^2 + a^2$；于是方程变为：
\[ y = u^{\frac{3}{2}}, \]
这就容易处理了，因为：
\[ \frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}. \]
接着处理表达式：
\[ u = x^2 + a^2, \]
并对其关于 $x$ 求导：
\[ \frac{du}{dx} = 2x. \]
然后其余部分就简单了：
因为
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}; \]
即：
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} × 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} × 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}; \end{align*}
这样问题就解决了。
随着学习深入，当你掌握处理正弦、余弦和指数函数的方法时，会发现这一技巧越来越有用。
例子
让我们用几个例子练习这一技巧。
(1) 对 $y = \sqrt{a+x}$ 求导。
设 $a+x = u$。
\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 1; \\ y &= u^{\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{du} &= \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \\ &= \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \end{align*}
(2) 对 $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}$ 求导。
设 $a + x^2 = u$。
\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x;\\ y &= u^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{du} &= -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} \\ &= - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \end{align*}
(3) 对下式求导：
\[ y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a \]
设 $m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u$。
\begin{align*} \frac{du}{dx} &= -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}; \\ y &= u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} \\ &= -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \end{align*}
(4) 对 $y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}$ 求导。
设 $u = x^3 - a^2$。
\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\\ y &= u^{-\frac{1}{2}};\\ \frac{dy}{du} &= -\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} \\ &= -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align*}
(5) 对 $y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ 求导。
将其写为
\[ y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}} \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}} \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}. \]
(也可以写为 $y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}$，然后按乘积法则求导。)
如例 (1) 所示，计算得到：
\[ \frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}; \]
和
\[ \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}. \]
因此
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ &= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}. \end{align*}
(6) 求导。
\[ y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}} \]
可以写为：
\begin{align*} y &= x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} × \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{align*}
根据例 (2) 中的方法，对 $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$ 求导，得到：
\[ \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}}; \]
因此：
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} \\ &= \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}. \end{align*}
(7) 求导：
\[ y=(x+\sqrt{x^2+x+a})^3 \]
令 $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$。
\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y &= u^3;\\ \frac{dy}{du} &= 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{align*}
令 $(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v$， 而 $(x^2+x+a) = w$，有：
\begin{align*} \frac{dw}{dx} &= 2x+1; \\ v &= w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} × \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\ \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align*}
(8) 求导：
\[ y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}} \]
可将其写为：
\begin{align*} y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\ \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \end{align*}
令 $u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}$，$v = (a^2 - x^2)$，则有
\begin{align*} u &= v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x. \\
\frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} × \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \end{align*}
令 $w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}$，$z = (a^2 + x^2)$，则有。
\begin{align*} w &= z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \\ \frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} × \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \end{align*}
因此
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \end{align*}
(9) 对 $y^n$ 关于 $y^5$ 求导。
\[ \frac{d(y^n)}{d(y^5)} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}. \]
(10) 对 $y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}$ 求一阶和二阶导数。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}. \]
令 $\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u$，$(a-x)x = w$，则 $u = w^{\frac{1}{2}}$，有：
\begin{align*} &\frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}. \\ &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} × \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}
因此：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}. \]
接下来
\begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}
（本导数在后续章节会用到，详见第12章练习11。）