微积分中一些最重要的问题是那些时间作为自变量的问题，在这些问题中，我们需要思考当时间变化时，某些其他量的值如何变化。有些东西随着时间的推移而增大；另一些东西则随着时间的推移而变小。比如，一列火车从起点出发后，随着时间的推移，它的距离不断增加。树木随着年岁增长而长高。那么，哪个东西增长得更快呢？一株高12厘米的植物在一个月内长到14厘米，还是一棵高12米的树在一年内长到14米？
在本章中，我们将大量使用“速率”这个词。它与贫困率或水费率无关（尽管这些词也暗示了比例——一个比率——每英镑多少便士）。甚至与出生率或死亡率也没有直接关系，尽管这些词指的是每千人中有多少出生或死亡。当一辆汽车飞驰而过时，我们会说：“真是太快了！”当一个挥霍的人乱花钱时，我们会评论说：“那个年轻人过得真奢侈。”“速率”究竟是什么意思？在这两种情况下，我们实际上在做一个关于某件事发生的比较，以及它发生所需的时间。如果一辆汽车每秒钟飞驰10米，我们通过简单的心算可以得出，这相当于每分钟600米，或者每小时超过360公里。
那么，为什么说10米每秒的速度与600米每分钟是一样的呢？10米并不等于600米，一秒钟也不是一分钟。我们所说的“速率相同”是指：在这两种情况下，行进的距离与所花的时间之间的比例是相同的。
再举一个例子。一个人可能口袋里只有几英镑，但他仍然可以以每年几百万英镑的速率花钱——前提是他只是持续几分钟以这个速率花钱。假设你递给商店柜台一先令来支付一些商品费用，假设这笔交易持续了恰好一秒钟。那么，在这短短的一秒钟内，你正以每秒1先令的速率花钱，这个速率等于每分钟3英镑，每小时180英镑，每天4320英镑，或者每年1,576,800英镑！如果你口袋里有10英镑，你可以以每年百万英镑的速率花费5分多钟。
据说Sandy到伦敦不过五分钟，就“啪”地花掉了六便士。如果他以这个速率整天花钱——假设是12小时——那么他每小时花费6便士，也就是每天花费3英镑，每周花费21英镑12先令。
现在，试着将这些思想转化为微分符号。
让 \(y\) 表示金钱，\(t\) 表示时间。
如果你在花钱，且在短时间 \(dt\) 内花费的金额为 \(dy\)，那么花钱的速率就是 \(\dfrac{dy}{dt}\)，或者应该写成带负号的形式，\(-\dfrac{dy}{dt}\)，因为 \(dy\) 是减少量，不是增加量。然而，金钱并不是微积分的好例子，因为它通常是跳跃性变化的，而不是连续流动的——你可能一年赚200英镑，但它不是整天在细流中不停流入，而是按周、月或季度发放；你的支出也通常是一次性支付。
一个更合适的速率例子是运动物体的速度。伦敦（尤斯顿车站）到利物浦的距离是200英里。如果一列火车从伦敦出发，7点钟出发，11点钟到达利物浦，那么你知道，它在4小时内行驶了200英里，因此它的平均速率必须是每小时50英里，因为 \(\frac{200}{4} = \frac{50}{1}\)。在这里，你实际上是在进行一种心理上的比较，比较的是行驶的距离与所花的时间。你是在将两者相除。如果 \(y\) 是总距离，\(t\) 是总时间，那么显然平均速率是 \(\dfrac{y}{t}\)。然而，速度在整个旅程中并不恒定：起始时和结束时减速时，速度较慢。可能在某个下坡的部分，速度超过60英里每小时。如果在某段时间元素 \(dt\) 内，行驶的相应距离元素为 \(dy\)，那么在该段旅程中，速度就是 \(\dfrac{dy}{dt}\)。此时，一个量（在当前例子中是距离）相对于另一个量（在此情况下是时间）变化的速率，应该通过一个微分系数来表示。科学上表达的速度是某个方向上非常小的距离单位时间内的通过速率，因此可以写作：
但如果速度 \(v\) 不是恒定的，那么它要么在增加，要么在减少。速度增加的速率称为加速度。如果一个运动物体在某一瞬间，每单位时间 \(dt\) 内获得了一个额外的速度 \(dv\)，那么加速度 \(a\) 可以表示为：
但 \(dv\) 本身就是 \(d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)\) 的微分。因此我们可以写成：
通常写作 \(a = \dfrac{d^2y}{dt^2}\)；即加速度是距离相对于时间的二阶微分。加速度通常表示为单位时间内速度的变化，例如可以表示为每秒几米每秒，即 米 ÷ 秒2。
当一列火车刚开始移动时，它的速度 \(v\) 很小；但它的速度在增加——它正被引擎的推力加速。因此，它的 \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) 很大。当达到最高速度时，它不再加速，因此此时 \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) 降为零。但当它接近停站时，速度开始减慢；如果刹车被使用，速度可能会非常迅速地减慢，在这种减速或放慢速度的过程中，\(\dfrac{dv}{dt}\)，即 \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) 的值将是负的。
加速一个质量 \(m\) 需要持续施加力。加速一个物体所需的力与物体的质量成正比，同时也与加速度成正比。因此，我们可以写出力 \(f\) 的表达式：
质量与速度的乘积称为动量，用符号表示为 \(mv\)。如果我们对动量对时间进行微分，我们会得到 \(\dfrac{d(mv)}{dt}\)，这就是动量变化的速率。但由于 \(m\) 是一个常量，可以将其写成 \(m \dfrac{dv}{dt}\)，我们上面看到这与 \(f\) 是一样的。换句话说，力可以表示为质量乘以加速度，也可以表示为动量变化的速率。
再者，如果施加一个力来推动某物（对抗一个等大小的反向力），它就做了功；功的大小通过力与物体在力的方向上所移动的距离的乘积来衡量。所以，如果一个力 \(f\) 推动物体在长度 \(y\) 上移动，那么所做的功（我们可以称其为 \(w\)）将是：
这里我们假设力 \(f\) 是恒定的。如果力在 \(y\) 的不同部分变化，那么我们必须找到力在每个点的表达式。如果 \(f\) 是沿着小段长度 \(dy\) 的力，那么所做的功将是 \(f × dy\)。但是由于 \(dy\) 只是长度一点点，因此所做的功也只是一个微小的量。如果我们用 \(w\) 表示功，那么一个功的微量将是 \(dw\)；于是有：
可以写成：
进一步地，我们可以转换这个表达式，写成：
这给了我们力的第三种定义；即如果力用来产生某个方向上的位移，那么该方向上的力等于单位长度在该方向上做功的速率。在这个最后的句子中，速率显然不是按时间的意义来使用的，而是作为比例或比率的意思。
艾萨克·牛顿是微积分方法的发明者之一（莱布尼茨也独立发明了微积分），他将所有变化的量视为流动的；而我们今天所称的微分系数，牛顿称之为流动的速率，或该量的流率（fluxion）。他没有使用 \(dy\)、\(dx\)、\(dt\) 的符号（这些是莱布尼茨的贡献），而是使用了他自己的符号。如果 \(y\) 是一个变化或“流动”的量，那么他表示其变化速率（或“流率”）的符号是 \(\dot{y}\)。如果 \(x\) 是变量，那么它的流率被称为 \(\dot{x}\)。字母上方的点表示它已经被微分。然而，这个符号并没有告诉我们所微分的独立变量是什么。如果我们看到 \(\dfrac{dy}{dt}\)，我们知道 \(y\) 是对 \(t\) 进行微分。但如果我们只看到 \(\dot{y}\)，没有上下文的话，我们无法知道它是表示 \(\dfrac{dy}{dx}\)，还是 \(\dfrac{dy}{dt}\) 还是 \(\dfrac{dy}{dt}\)，或者 \(\dfrac{dy}{dz}\)，或其他什么变量。因此，这种流率符号比微分符号提供的信息要少，因此在使用上逐渐被淘汰了。但只要我们仅用于时间作为独立变量的情况，它的简洁性有一个优势。在这种情况下,\(\dot{y}\) 将表示 \(\dfrac{dy}{dt}\)，而 \(\dot{u}\) 将表示 \(\dfrac{du}{dt}\)；\(\ddot{x}\) 将表示 \(\dfrac{d^2x}{dt^2}\)。
采用这种流率符号，我们可以写出上面段落中讨论的机械方程，如下所示：
| 距离 | \(x\) |
|---|---|
| 速度 | \(v = \dot{x}\) |
| 加速度 | \(a = \dot{v} = \ddot{x}\) |
| 力 | \(f = m\dot{v} = m\ddot{x}\) |
| 功 | \(w = x × m \ddot{x}\) |
例子
(1) 一个物体移动，其从某一点 \(O\) 起的距离 \(x\)（单位为米）由关系式 \(x = 0.2t^2 + 10.4\) 给出，其中 \(t\) 是自某一时刻以来的时间（单位为秒）。求该物体开始运动后 \(5\) 秒时的速度和加速度，并求移动的距离为 \(100\) 米时的相应值。同时，求其运动的前 \(10\) 秒中的平均速度。(假设距离和向右的运动为正方向。）现在
且
当 \(t = 0\) 时，\(x = 10.4\)，\(v = 0\)。该物体从点 \(O\) 右侧 \(10.4\) 米的位置开始运动；时间从物体开始运动的时刻开始计算。
当 \(t = 5\) 时，\(v = 0.4 × 5 = 2 \text{米/秒}\)；\(a = 0.4 \text{米/秒}^2\)。
当 \(x = 100\) 时，\(100 = 0.2t^2 + 10.4\)，或 \(t^2 = 448\)，于是 \(t = 21.17\) 秒；\(v = 0.4 × 21.17 = 8.468\) 米/秒
当 \(t = 10\),
（平均速度与 \(t = 5\) 时的速度相同；因为加速度是常数，速度从 \(t = 0\) 时的零均匀变化到 \(t = 10\) 时的 \(4 \text{米/秒}\)。 )
(2) 在上述问题中，假设
当 \(t = 0\) 时，\(x = 10.4\) 且 \(v = 3\) 米/秒，时间从物体经过距点 \(O\)10.4米处的那一刻开始计时，此时速度已为 \(3\) 米/秒。要找到它开始移动以来经过的时间，让 \(v = 0\)；则 \(0.4t + 3 = 0\),\(t= -\frac{3}{.4} = -7.5\) 秒。物体在计时开始之前的 \(7.5\) 秒开始移动；此后 \(5\) 秒即 \(t = -2.5\)，且 \(v = 0.4 × -2.5 + 3 = 2\) 米/秒。
当 \(x = 100\) 米时，
即
所以 \(t = 14.95\) 秒，\(v = 0.4 × 14.95 + 3 = 8.98\) 米/秒。
要找到运动的前 \(10\) 秒内行驶的距离，需要知道物体起始时距点 \(O\) 的距离。
当 \(t = -7.5\) 时，
即距点 \(O\) 左侧 \(0.85\) 米。
现在，当 \(t = 2.5\) 时，
所以，在 \(10\) 秒内，行驶的距离为 \(19.15 + 0.85 = 20\) 米，且
(3) 考虑一个类似的问题，其中距离由 \(x = 0.2t^2 - 3t + 10.4\) 给出。则 \(v = 0.4t - 3\)，\(a = 0.4\) 是常数。当 \(t = 0\) 时，\(x = 10.4\) 且 \(v = -3\)；因此物体的运动方向与之前的情况相反。然而，由于加速度是正的，我们可以看到，随着时间推移，这个速度将会减少，直到 \(v = 0\) 或 \(0.4t - 3 = 0\)，即 \(t = 7.5\) 秒。之后，速度变为正数；在物体开始运动后 \(5\) 秒，即 \(t = 12.5\) 时，
当 \(x = 100\) 时，\(100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4\)，即 \(t^2 - 15t - 448 = 0\)，所以 \(t = 29.95, v = 0.4 × 29.95 - 3 = 8.98\) 米/秒。
当 \(v = 0\) 时，\(x = 0.2 × 7.5^2 - 3 × 7.5 + 10.4 = -0.85\)，表明物体在停下之前移回到点 \(O\) 以外 \(0.85\) 米的位置。10秒后
行驶的距离 = .85 + 19.15 = 20.0，平均速度为 2米/秒。
(4) 考虑另一个类似的问题，\(x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4\)，\(v = 0.6t^2 - 6t\)，\(a = 1.2t - 6\)。加速度不再是常数。
当 \(t = 0\) 时，\(x = 10.4\)，\(v = 0\)，\(a = -6\) 时。物体静止，但即将以负加速度（即向点 \(O\) 的方向）获得速度。
(5) 如果 \(x = 0.2t^3 - 3t + 10.4\)，则 \(v = 0.6t^2 - 3\)，且 \(a = 1.2t\)。
当 \(t = 0\) 时，\(x = 10.4\)，\(v = -3\)，\(a = 0\)。
物体以 \(3\) 米/秒的速度向点 \(O\) 移动，且此时速度是均匀的。
可以看出，运动的条件总是可以从时间-距离方程及其一阶和二阶导数中立即确定。在最后两个例子中，由于速度不再均匀增加，加速度不再是常数，因此在前 \(10\) 秒中的平均速度和开始运动后 \(5\) 秒的速度将不再相同。
(6) 车轮旋转的角度 \(\theta\)(弧度)由 \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\) 给出，其中 \(t\) 是从某一时刻开始的时间；求出在(a) \(1\) 秒后和(b) 车轮完成一周后的角速度 \(\omega\) 和角加速度 \(\alpha\)。求车轮何时静止，并在该时刻之前完成了多少周。
角加速度
当 \(t = 0\) 时，\(\theta = 3\)；\(\omega = 2\) 弧度/秒；\(\alpha = 0\)。
当 \(t = 1\) 时，\(\omega = 2 - 0.3 = 1.7\) 弧度/秒；\(\alpha = -0.6\) 弧度/秒2。
这是一种减速；车轮正在减速。
在完成一周后，
通过绘制 \(\theta = 3 + 2t - 0.1t^3\) 的图，我们可以得到 \(\theta = 6.28\) 时 \(t\) 的值，这些值是 \(2.11\) 和 \(3.03\)(还有一个负值)。
当 \(t = 2.11\) 时，
当 \(t = 3.03\),
速度发生了反转。显然，车轮在这两个时刻之间处于静止状态；当 \(\omega = 0\) 时，即 \(0 = 2 - 0.3t^3\)，或 \(t = 2.58\) 秒时，车轮已完成