本章介绍了连续求导的概念，即对一个函数进行多次求导的过程。每次求导时指数和系数递减。此方法适用于不同的函数。
第 7 章 连续求导
让我们尝试重复多次对一个函数进行求导操作的效果（参见此处）。们从一个具体的例子开始。
设 $y = x^5$。
第一次求导：
\[ 5x^4. \]
第二次求导：
\[ 5 × 4x^3 = 20x^3. \]
第三次求导,：
\[ 5 × 4 × 3x^2 = 60x^2. \]
第四次求导：
\[ 5 × 4 × 3 × 2x = 120x. \]
第五次求导：
\[ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. \]
第六次求导：
\[ = 0. \]
有一种我们已经熟悉的记号（参见此处），一些作者会使用它，因为非常方便。这个记号是使用一般符号 $f(x)$ 表示任意 $x$ 的函数。在这里符号 $f( )$ 表示“函数”，不需要说明具体是哪个函数。因此，表达式 $y=f(x)$ 仅仅说明 $y$ 是 $x$ 的一个函数，可能是 $x^2$ 或 $ax^n$，或 $\cos x$，或任何其他关于 $x$ 的复杂函数。
对应的导数符号是 $f'(x)$，它比 $\dfrac{dy}{dx}$ 更简洁。这被称为 $x$ 的“导函数”。
假设我们再次求导，就会得到“第二导函数”或二阶导数，记为 $f''(x)$；以此类推。
现在我们来进行推广。
设 $y = f(x) = x^n$。
第一次求导：
\[ f'(x) = nx^{n-1}. \]
第二次求导：
\[ f''(x) = n(n-1)x^{n-2}. \]
第三次求导：
\[ f'''(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \]
第四次求导：
\[ f''''(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \]
等等，以此类推。
但是，这不是表示连续求导的唯一方法。
如果原始函数是
\[ y = f(x); \]
一次求导得到
\[ \frac{dy}{dx} = f'(x); \]
二次求导得到
\[ \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} = f''(x); \]
这更方便地写为
\[ \dfrac{d^2y}{(dx)^2} \]
或者更常见的是写成
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} \]
类似地，我们可以写出三次求导的结果
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x) \]
例子
现在让我们尝试 $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$。
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*}
以类似的方式，如果 $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$,
\begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x × 2x + (x^2 - 4) × 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 × 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}