本章解释了多种数学表达式的求导方法，包括乘积、商、平方根和幂函数的求导。通过例子展示了使用乘积法则和其他求导技巧的解法。提供了一个应用实例，涉及带斜坡的水库中水的体积计算，另一个例子则使用Dulong公式和二项式定理计算蒸汽压力随温度变化的速率。
第 6 章 和、差、积与商的微分
我们已经学习了如何求简单代数函数的导数，如 $x^2 + c$ 或 $ax^4$，现在我们要考虑如何处理两个或多个函数的和。
例如，令
\[ y = (x^2+c) + (ax^4+b); \]
那么它的 $\dfrac{dy}{dx}$ 会是什么?我们该如何着手解决这个新问题？
这个问题的答案非常简单：逐个求导即可，如下所示：
\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3. \]
如果您对此是否正确有任何疑问，请尝试一个更一般的情况，从基本原理开始推导。这就是方法。
令 $y = u+v$, 其中 $ u$ 是 $x$ 的任意函数, $v$ 是 $x$ 的另一个任意函数。然后，让 $x$ 增加到 $x+dx$，$y$ 将增加到 $y+dy$；$u$ 将增加到 $u+du$；$v$ 增加到 $v+dv$。
于是我们得到：
\[ y+dy = u+du + v+dv. \]
减去原来的 $y = u+v$，得到
\[ dy = du+dv, \]
两边除以 $dx$，得到：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}. \]
这证明了这个方法的正确性。您可以分别对每个函数求导，然后将结果相加。因此，如果现在取前一段中的例子，并代入这两个函数的值，使用示例中的符号(第3章)，我们将得到：
\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} & = \frac{d(x^2+c)}{dx} &&+ \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ & = 2x &&+ 4ax^3, \end{alignat*}
与之前完全相同。
如果有三个 $x$ 的函数，我们可以称之为 $u$、$v$ 和 $w$，则有
\begin{align*} y &= u+v+w; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align*}
至于减法，它立即就得出结论；因为如果函数 $v$ 本身带有负号，它的微分系数也会是负的。因此，通过对
\begin{align*} y &= u-v, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align*}
但是，当我们处理积时，事情就不那么简单了。
假设我们被要求对以下表达式求导：
\[ y = (x^2+c) × (ax^4+b), \]
我们该怎么做？结果当然不会是 $2x × 4ax^3$，因为很容易看出 $c × ax^4$ 和 $x^2 × b$ 并没有被包括在这个乘积中。
现在我们有两种方法可以处理这个问题。
第一种方法。先进行乘法运算，然后在完成计算后再求导。
因此，将 $x^2 + c$ 和 $ax^4 + b$ 相乘。
这样得到 $ax^6 + acx^4 + bx^2 + bc$ 。
现在求导，得到：
\[ \dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx. \]
**第二种方法。**回到基本原理，考虑方程
\[ y = u × v; \]
其中 $u$ 是 $x$ 的一个函数，$v$ 是 $x$ 的另一个任意函数。然后，如果 $x$ 增加到 $x+dx$，$y$ 增加到 $y+dy$，$u$ 增加到 $u+du$，$v$ 增加到 $v+dv$，我们将得到：
\begin{align*} y + dy &= (u + du) × (v + dv) \\ &= u · v + u · dv + v · du + du · dv. \end{align*}
现在 $du · dv$ 是二阶小量，因此在极限中可以忽略，得到
\[ y + dy = u · v + u · dv + v · du. \]
然后，减去原来的 $y = u· v$，我们得到
\[ dy = u · dv + v · du; \]
并将两边除以 $dx$，得到结果：
\[ \dfrac{dy}{dx} = u \dfrac{dv}{dx} + v \dfrac{du}{dx}. \]
这表明我们的操作步骤如下：要对两个函数的积求导，对每个函数分别乘以另一个函数的微分系数，然后将得到的两个积相加。
请注意，这个过程相当于以下步骤：当你对 $v$ 求导时，将 $u$ 视为常数；然后当你对 $u$ 求导时，将 $v$ 视为常数；整个微分系数 $\dfrac{dy}{dx}$ 就是这两部分的和。
现在，找到这个规则后，应用它到前面考虑的具体例子。
我们想对以下乘积求导：
\[ (x^2 + c) × (ax^4 + b). \]
设 $(x^2 + c) = u$；且 $(ax^4 + b) = v$。
然后，根据刚才建立的一般规则，我们可以写成：
\begin{alignat*}{2} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \\ \dfrac{dy}{dx} &= 6ax^5 + 4acx^3 &&+ 2bx, \end{alignat*}
与之前的结果完全相同。
最后，我们要对商求导。
考虑这个例子 $y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$。在这种情况下，事先尝试完成除法是没有用的，因为 $x^2 + a$ 不能整除 $bx^5 + c$, ，它们也没有共同因子。因此只能回到基本原理，找出规则。于是我们设
\[ y = \frac{u}{v}; \]
其中 $u$ 和 $v$ 是自变量 $x$ 的两个不同函数。然后，当 $x$ 变为 $x + dx$ 时，$y$ 变为 $y + dy$；$u$ 变为 $u + du$；$v$ 变为 $v + dv$。因此
\[ y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}. \]
现在执行代数除法如下：
由于这两个余数都是二阶小量，因此可以忽略不计，除法可以在此处停止，因为任何进一步的余数将是更小的量。
于是我们得到：
\[ y + dy = \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u· dv}{v^2}; \]
这可以写为
\[ = \dfrac{u}{v} + \dfrac{v· du - u· dv}{v^2}. \]
现在减去原始的 $y = \dfrac{u}{v}$，剩下：
\begin{align*} dy &= \dfrac{v· du - u· dv}{v^2}; \\ \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}. \end{align*}
这给出了如何对两个函数的商求导的说明。用除数函数乘以被除数函数的微分系数；然后用被除数函数乘以除数函数的微分系数，并相减。最后除以除数函数的平方。
回到我们的例子 $y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$，设 $bx^5 + c = u$ 并设 $x^2 + a = v$。
则
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}. \end{align*}
对商进行运算通常很繁琐，但没有什么困难。
以下提供了一些进一步的完全求解的例子。
(1) 求导
\[ y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2} \]
由于 $\dfrac{a^2}{b^2}$ 是常数，故其导数为 0，得到
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} × 3 × x^{3-1} - \frac{a^2}{b} × 1 × x^{1-1}. \]
但 $x^{1-1} = x^0 = 1$, 所以我们得到：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}. \]
(2) 求导
\[ y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab} \]
将 $x$ 表示成指数形式，我们得到
\[ y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}. \]
现在，
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 2a\sqrt{b} × \tfrac{3}{2} × x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} × (-1) × x^{-1-1}; \\ \frac{dy}{dx} &= 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}. \end{align*}
(3) 求导数
\[ z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27° \]
可以写成：$z= 1.8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4.4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27°$。
$27°$ 为常数项，消失，因此有
\begin{align*} \frac{dz}{d\theta} &= 1.8 × -\tfrac{2}{3} × \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4.4 × \left(-\tfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1}; \\ \frac{dz}{d\theta} &= -1.2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0.88\, \theta^{-\frac{6}{5}}; \\ \frac{dz}{d\theta} &= \frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}. \end{align*}
(4) 求 $v = (3t^2 - 1.2 t + 1)^3$ 的导数。
稍后将介绍一种直接方法（参见此处)；不过，现在也可以求解。
展开立方，得到
\[ v = 27t^6 - 32.4t^5 + 39.96t^4 - 23.328t^3 + 13.32t^2 - 3.6t + 1; \]
因此,
\[ \frac{dv}{dt} = 162t^5 - 162t^4 + 159.84t^3 - 69.984t^2 + 26.64t - 3.6. \]
(5) 求 $y = (2x - 3)(x + 1)^2$ 的导数。
\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx} &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right. &&+ \left.(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] \\ & &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr] &&= 2(x + 1)(3x - 2) \end{alignat*}
或，更简单的方式是展开并进行微分。
(6) 求 $y = 0.5 x^3(x-3)$ 的导数。
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) × 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align*}
与之前的示例相同的说明。
(7) 求导数
\[ w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right) \]
可写为
\begin{gather*} w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \\ \begin{aligned} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\
&= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}})
- (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \
&= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}})
- (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \
&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right)
- \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{aligned} \end{gather*}
这也可以通过先将两个因子相乘，然后再求导来更简单地得到。。然而，这并不总是可能的；例如，在此处的例子8中，必须使用乘积求导法则。
(8) 求导
\[ y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x} \]
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) × 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align*}
(9) 求导
\[ y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1} \]
\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 × 2x}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}. \end{align*}
(10) 求导
\[ y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}} \]
表示为幂形式
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} \\ &= \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}. \end{align*}
(11) 求导
\[ \theta = \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}. \]
\begin{align*} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\ \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) × \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{t^3})^2}. \end{align*}
(12) 一个方形截面的水库，其侧面与垂直方向成 $45°$ 角。底边长为 $200$ 米。当水深变化1米时，找到流入或流出的水量的表达式；从而在水深从 $14$ 米减至 $10$ 米的24小时内，计算每小时抽出的水量（单位为加仑）。
高 $H$、上下底面积分别为 $A$ 和 $a$ 的截锥台的体积为
\[ V = \dfrac{H}{3} (A + a + \sqrt{Aa} ) \]
显然，当坡度为 $45°$ 时，如果水深为 $h$，水平方水面的边长为 $200 + 2h$ 米，则水的体积为
\begin{align*} \dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] \\ = 40,000h + 400h^2 + \dfrac{4h^3}{3}. \end{align*}
每米的深度变化导致 $\dfrac{dV}{dh} = 40,000 + 800h + 4h^2 = {}$ 立方米体积变化。当水深从 $14$ 米减至 $10$ 米，平均深度为 $12$ 米，则 $h = 12$ 时，$\dfrac{dV}{dh} = 50,176$ 立方米。
水深在24小时内变化4米所对应的每小时加仑数 ${} = \dfrac{4 × 50,176 × 6.25}{24} = 52,267$ 加仑。
(13) 饱和蒸汽在摄氏温度 $t°$ C （$t$ 在 $80°$ 以上） 下的绝对压力 $P$（单位为大气压）由Dulong公式给出： $P = \left( \dfrac{40 + t}{140} \right)^5$。求温度在 $100°$C 时压力随温度的变化率。
使用二项式定理展开分子（参见此处）。
\[ P = \frac{1}{140^5} (40^5 + 5×40^4 t + 10 × 40^3 t^2 + 10 × 40^2 t^3 + 5 × 40t^4 + t^5); \]
因此
\begin{align*} \dfrac{dP}{dt} = &\dfrac{1}{537,824 × 10^5}\\ &(5 × 40^4 + 20 × 40^3 t + 30 × 40^2 t^2 + 20 × 40t^3 + 5t^4), \end{align*}
当 $t = 100$ 时，结果为每摄氏度变化 $0.036$ 大气压。