简易微积分4: 最简单的情况

本章总结了求 𝑥 幂次微分的一般规则，即幂次乘入后减一。该规则适用于正、负、分数幂。文中通过示例展示了这一点，并说明忽略高阶小量项可简化微分计算。

第 4 章 最简单的情况

现在让我们从最基本的原则出发，来看一下如何对一些简单的代数表达式进行微分。

情况 1

我们先从一个简单的表达式 $y=x^2$ 开始。请记住，微积分的基本概念是增长的概念。数学家称之为变化。既然 $y$ 和 $x^2$ 相等，很明显，如果 $x$ 增长，$x^2$ 也会增长。而如果 $x^2$ 增长，那么 $y$ 也会增长。我们需要找出的是 $y$ 的增长和 $x$ 的增长之间的比例。换句话说，我们的任务是找出 $dy$ 和 $dx$ 之间的比率，或者简而言之，求出 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值。

让 $x$ 增加一点变为 $x + dx$；相应地，$y$ 也会增加一点，变为 $y + dy$。那么，显然仍然成立的是：增大的 $y$ 将等于增大的 $x$ 的平方。写下这个关系，我们有：

\[ y + dy = (x + dx)^2. \]

展开平方，我们得到：

\[ y + dy = x^2 + 2x · dx+(dx)^2. \]

$(dx)^2$ 的意义是什么？请记住，$dx$ 代表 $x$ 的一小部分 – 一点点。那么 $(dx)^2$ 就意味着 $x$ 的一点点的一点点；即如前面所解释的那样（参见此处），它是第二阶微小的量。因此，与其他项相比，它可以被忽略不计。将它舍去，我们就得到：

\[ y + dy = x^2 + 2x · dx. \]

现在 $y=x^2$，从原方程中减去，剩下：

\[ dy = 2x · dx. \]

两边都除以 $dx$，我们得到：

\[ \frac{dy}{dx} = 2x. \]

这就是我们要找的答案。¹在此例中，$y$ 的增长与 $x$ 的增长之比是 $2x$。

数值示例

假设 $x=100$，$y=10,000$。然后让 $x$ 增长到 $101$（即让 $dx=1$）。那么增大的 $y$ 将是 $101 \times 101 = 10,201$。但是如果我们同意可以忽略二阶小量，则可以舍去 $1$，因为它相对于 $10,000$ 是微不足道的；因此我们可以将增大的 $y$ 取为 $10,200$。$y$ 从 $10,000$ 增长到 $10,200$；增加的部分是 $dy$，即 $200$。

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200 \]

根据前述的代数操作，我们得到 $\dfrac{dy}{dx} = 2x$。确实如此，因为 $x=100$ 且 $2x=200$。

你可能会说，我们忽略了一个完整的单位。

好，再试一次，让 $dx$ 取更小的量。

试试 $dx=\frac{1}{10}$。那么 $x+dx=100.1$，并且

\[ (x+dx)^2 = 100.1 × 100.1 = 10,020.01. \]

现在最后一位数字 $1$ 只是 $10,000$ 的百万分之一，非常微小，可以忽略不计；所以我们可以取 $10,020$ 而忽略末尾的小数。这样得到 $dy=20$，并且 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200$，仍然与 $2x$ 相同。

情况 2

试着以同样的方式对 $y = x^3$ 进行微分。

我们让 $y$ 增长到 $y+dy$，同时 $x$ 增长到 $x+dx$。

那么我们有

\[ y + dy = (x + dx)^3. \]

展开立方得到：

\[ y + dy = x^3 + 3x^2 · dx + 3x(dx)^2+(dx)^3. \]

现在我们知道可以忽略二阶和三阶的小量，因为当 $dy$ 和 $dx$ 都趋于无限小的时候，$(dx)^2$ 和 $(dx)^3$ 相比之下会变得更小。因此，将它们视为可忽略不计，我们剩下：

\[ y + dy=x^3+3x^2 · dx. \]

但 $y = x^3$；减去这一项，我们得到：

\begin{align*} dy &= 3x^2 · dx, \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align*}

情况 3

试着对 $y = x^4$ 进行微分。像之前一样，让 $y$ 和 $x$ 都增长一些，我们得到：

\[ y + dy = (x+dx)^4. \]

计算出四次方，我们得到：

\[ y + dy = x^4 + 4x^3 dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4. \]

然后，将所有包含更高次幂 $dx$ 的项去掉，因为它们相比之下可以忽略不计，我们得到：

\[ y + dy = x^4+4x^3 dx. \]

减去原始的 $y = x^4$，我们剩下：

\begin{align*} dy &= 4x^3\, dx, \\ \frac{dy}{dx} &= 4x^3. \end{align*}

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现在，所有这些情况都相当简单。让我们把结果整理出来，看能否推导出任何一般规则。将它们放入两列中，一列是 $y$ 的值，另一列是相应的 $\dfrac{dy}{dx}$ 值，如下所示：

$y$	$\frac{dy}{dx}$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^4$	$4x^3$

只需看看这些结果：微分操作似乎使 $x$ 的幂次减少了 $1$（例如在最后一个例子中，将 $x^4$ 减少到 $x^3$），同时乘以一个数（实际上就是最初作为幂次出现的那个数）。现在，一旦你看到这一点，可能很容易猜测其他情况的结果。例如，你会期望微分 $x^5$ 会得到 $5x^4$，或者微分 $x^6$ 会得到 $6x^5$。如果你犹豫了，可以试试其中一个，看看推测是否正确。

试试 $y = x^5$。

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &\phantom{{}= x^5 + 5x^4\, dx} + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align*}

忽略所有包含更高次小量的项，我们剩下：

\[ y + dy = x^5 + 5x^4 dx \]

然后减去

\[ y = x^5 \]

剩下

\[ dy = 5x^4 dx \]

因此

\[ \frac{dy}{dx} = 5x^4 \]

正如我们所预想的那样。

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根据我们的观察逻辑推论可以得出，如果我们想处理任何更高次幂——称其为 $n$——可以用相同的方法处理。

令 $y = x^n$

那么，我们应该可以得到：

\[ \frac{dy}{dx} = nx^{(n-1)} \]

例如，令 $n=8$，则 $y=x^8$；微分结果将是 $\dfrac{dy}{dx} = 8x^7$。

事实上，微分 $x^n$ 得到的结果为 $nx^{n-1}$ 的规则，对于 $n$ 为正整数的所有情况都适用。[通过展开 $(x + dx)^n$ 的二项式定理，可以立即验证这一点。]但当 $n$ 为负数或分数时，这一结论是否成立还需要进一步探讨。

负幂的情况

令 $y = x^{-2}$。然后按之前的步骤进行：

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align*}

通过二项式定理展开( 参见此处)，我们得到：

\begin{align*} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1×2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \text{etc.}\right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} · dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \ldots \\ \end{align*}

因此，忽略高次小量项，我们得到：

\[ y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} · dx. \]

减去原来的 $y = x^{-2}$，我们得到：

\begin{align*} dy &= -2x^{-3}dx, \\ \frac{dy}{dx} &= -2x^{-3}. \end{align*}

这仍然符合我们上面推导的规则。

分数幂的情况

令 $y = x^{\frac{1}{2}}$。然后，像之前一样，

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{dx}{x} )^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} + \text{} \end{align*}

减去原始的 $y = x^{\frac{1}{2}}$，并忽略高次项，我们得到：

\[ dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} · dx, \]

所以

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \]

这也符合一般规则。

总结

让我们看看取得了多大进展。我们已经得出以下规则：对 $x^n$ 求微分，将其幂次乘入，然后幂次减一，得到 $nx^{n-1}$ 作为结果。

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