本章介绍微积分中关于数量增长的关键概念，讨论一个变量的值可能如何依赖于另一个变量，引入了微分变化的概念，其中一个变量（表示为𝑑𝑥）的小变化会导致另一个变量（表示为𝑑𝑦）的变化，定义了“微分系数”（或导数）用符号 𝑑𝑦 / 𝑑𝑥 表示，表示微小变化的比率，这个比率描述了一个变量相对于另一个变量的变化率，在微积分十分重要。
第 3 章 相对增长
在整个微积分中，我们处理的是不断增长的量以及增长的速率。我们将所有的量分为两类：常量和变量。那些我们认为是固定值的量，称为常量，通常用字母 $a$、$b$ 或 $c$ 等字母表示；而那些我们认为可以增长（或者像数学家所说的“变化”）的量，用字母 $x$、$y$、$z$、$u$、$v$、$w$，或有时用 $t$ 来表示。
此外，我们通常同时处理多个变量，考虑一个变量如何依赖于另一个变量。例如，我们思考投射物到达的高度如何取决于到达该高度所用的时间。或者考虑一个给定面积的矩形，其长度增加时，宽度会如何相应地减少。又或者思考梯子的倾斜角度发生变化时，梯子到达的高度会如何变化。
假设我们有两个这样的变量，它们之间有相互依赖的关系。一个变量的改变会导致另一个变量的改变，因为它们之间存在这种依赖关系。设其中一个变量为 $x$，另一个依赖于它的变量为 $y$。
假设我们让 $x$ 变化，也就是说，我们让它增加一点，记为 $dx$。这样 $x$ 就变成了 $x + dx$。因为 $x$ 发生了变化，$y$ 也会随之变化，变成 $y + dy$。在这里，$dy$ 的值可能为正，也可能为负；而且它的大小通常不会（除非极其偶然）等于 $dx$ 的大小。
举两个例子。
（1）令 $x$ 和 $y$ 分别为直角三角形（图4）的底边和高，而斜边的倾斜角度固定为 $30°$。如果我们假设这个三角形在扩展的同时保持最初的角度不变，那么当底边增长为 $x + dx$ 时，高度会变为 $y + dy$。在这里，增加 $x$ 会导致 $y$ 的增加。小三角形的高为 $dy$，底边为 $dx$，它与原三角形相似；显然，$\dfrac{dy}{dx}$ 的比率与 $\dfrac{y}{x}$ 的比率相同。由于角度是 $30°$，我们可以看到这里
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1.73}. \]
（2）在图5中，设 $x$ 表示梯子底端距墙的水平距离 $AB$，长度固定，而 $y$ 表示其在墙上到达的高度。现在显然 $y$ 依赖于 $x$。很容易看出，如果将底端 $A$ 稍微移开一点，顶端 $B$ 会稍微降低。用科学语言描述这一情况：如果我们将 $x$ 增加为 $x + dx$，那么 $y$ 将变为 $y - dy$；即当 $x$ 获得正增量时，$y$ 的增量是负的。
那么具体是多少呢？假设梯子足够长，使得当底端 $A$ 离墙 $19$ 厘米时，顶端 $B$ 刚好离地 $1.8$ 米。如果将底端拉出 $1$ 厘米，顶端会下降多少？全部换算成厘米：$x = 19$ 厘米，$y = 180$ 厘米。增量 $dx$ 为 $1$ 厘米，即 $x + dx = 20$ 厘米。
$y$ 减少的量是多少？新高度将为 $y - dy$。用勾股定理可以算出 $dy$ 的大小。梯子的长度为
\[ \sqrt{ (180)^2 + (19)^2 } = 181 \text{ 厘米}. \]
显然，新高度 $y - dy$ 将满足以下条件：
\begin{align*} (y - dy)^2 &= (181)^2 - (20)^2 = 32761 - 400 = 32361, \\ y - dy &= \sqrt{32361} = 179.89 \text{ 厘米}. \end{align*}
现在 $y$ 为 $180$，所以 $dy = 180 - 179.89 = 0.11$ 厘米。
因此，我们看到使 $dx$ 增加 $1$ 厘米导致 $dy$ 减少 $0.11$ 厘米。
而 $dy$ 对 $dx$ 的比率可以表示如下：
\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{0.11}{1}. \]
也可以看出，除了一种特殊位置外，$dy$ 的大小一般不会与 $dx$ 相同。
在整个微分计算中，我们一直在寻找一个有趣的量，实际上是一个比率，即当它们都无限小的时候，$dy$ 与 $dx$ 的比例。
需要注意的是，只有当 $y$ 和 $x$ 之间存在某种关系时，才能找到这个比率 $\dfrac{dy}{dx}$，因此当 $x$ 变化时 $y$ 也会随之变化。例如，在第一个例子中，当三角形的底边 $x$ 变长时，其高度 $y$ 也会增加；而在第二个例子中，当梯子的底端与墙的距离 $x$ 增加时，梯子所到达的高度 $y$ 则相应减少，起初减少较慢，但随着 $x$ 增大，减少得越来越快。在这些情况下，$x$ 与 $y$ 之间的关系完全明确，可以用数学表达出来，例如 $\dfrac{y}{x} = \tan 30°$ 和 $x^2 + y^2 = l^2$（其中 $l$ 是梯子的长度），并且 $\dfrac{dy}{dx}$ 有我们在每个例子中找到的意义。
如果 $x$ 仍表示梯子底端到墙的距离，而 $y$ 则表示墙的水平长度，或墙中的砖数，或自墙建成以来的年数，任何对 $x$ 的改变都不会对 $y$ 产生任何影响；在这种情况下 $\dfrac{dy}{dx}$ 没有任何意义，也无法找到其表达式。当我们使用微分 $dx$、$dy$、$dz$ 等时，$x$、$y$、$z$ 等之间必须存在某种关系，这种关系称为 $x$、$y$、$z$ 的“函数”；例如上述表达式 $\dfrac{y}{x} = \tan 30°$ 和 $x^2 + y^2 = l^2$ 就是 $x$ 和 $y$ 的函数。这些表达式隐含地（即没有明确显示）包含了将 $y$ 表示为 $x$ 的函数，或将 $x$ 表示为 $y$ 的函数，因此它们被称为 $x$ 和 $y$ 的隐函数；可以分别写成
\begin{align*} y &= x \tan 30°\\ x &= \frac{y}{\tan 30°} \end{align*}
和
\begin{align*} y &= \sqrt{ l^2 - x^2}\\ x &= \sqrt{ l^2 - y^2}. \end{align*}
这些最后的表达式明确地（即清晰地）表示出 $y$ 关于 $x$ 或 $x$ 关于 $y$ 的值，因此被称为 $x$ 或 $y$ 的显函数。例如 $x^2 + 3 = 2y - 7$ 是 $x$ 和 $y$ 的隐函数；可以写成 $y = \dfrac{x^2 + 10}{2}$（$x$ 的显函数）或 $x = \sqrt{2y - 10}$（$y$ 的显函数）。我们可以看到 $x$、$y$、$z$ 等的显函数是一个随 $x$、$y$、$z$ 等变化而变化的值，可以是一个变量或多个变量一起变化。因此，显函数的值称为因变量，因为它依赖于函数中其他变量的值；这些其他变量称为自变量，因为它们的值不依赖于函数所取的值。例如，如果 $u = x^2 \sin \theta$，$x$ 和 $\theta$ 是自变量，而 $u$ 是因变量。
有时几个量 $x$、$y$、$z$ 之间的确切关系未知，或者不方便陈述；仅知道或方便陈述的是这些变量之间存在某种关系，使得 $x$、$y$、$z$ 等量不能单独变化而不影响其他量；此时函数关系可用 $F(x, y, z)$ 表示（隐函数），或用 $x = F(y, z)$，$y = F(x, z)$ 或 $z = F(x, y)$（显函数）表示。有时字母 $f$ 或 $\phi$ 被用来代替 $F$，因此 $y = F(x)$、$y = f(x)$ 和 $y = \phi(x)$ 都表示同样的意思，即 $y$ 的值以某种未说明的方式依赖于 $x$ 的值。
我们称比率 $\dfrac{dy}{dx}$ 为“$y$ 对 $x$ 的微分系数”。这是一个严肃的科学术语，用来描述这个非常简单的概念。但我们不应被严肃的术语吓倒，因为概念本身并不难。与其被吓倒，不如简单地对这种不必要的复杂命名方式表示一下不满，然后继续讨论这个简单的内容，即比率 $\dfrac{dy}{dx}$。
在学校学过的普通代数中，你总是在寻找一些被称为 $x$ 或 $y$ 的未知数；有时还需要同时找到两个未知数。而现在，你需要以一种新的方式去“寻找”，目标不再是 $x$ 或 $y$ 本身，而是这个被称为 $\dfrac{dy}{dx}$ 的奇特比率。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 的过程称为“微分”。但是，请记住，我们想要的是在 $dy$ 和 $dx$ 都无限小的情况下，这个比率的值。微分系数的真实值是当它们被视为极微小的时候所接近的极限。
现在让我们学习如何去寻找 $\dfrac{dy}{dx}$。
第三章注
如何阅读微分符号
不要犯初学者的错误，以为 $dx$ 意味着 $d$ 乘以 $x$，因为 $d$ 并不是一个因子——它表示“……的一个元素”或“……的一小部分”。$dx$ 应读作“dee-eks”。
如果读者没有人指导他这方面的内容，这里简单说明一下如何阅读微分系数。微分系数 $\dfrac{dy}{dx}$ 读作“dee-wy by dee-eks”或“dee-wy over dee-eks”。 同样，$\dfrac{du}{dt}$ 读作“dee-you by dee-tee”。
第二阶微分系数将在后面遇到。它们像这样： $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$，读作“dee-two-wy over dee-eks-squared”，意思是对 $y$ 关于 $x$ 的微分运算已经（或必须）进行两次。
另一种表示函数已经被微分的方式是给函数符号加上一个撇号。因此，如果 $y=F(x)$ 表示 $y$ 是 $x$ 的某个未具体说明的函数，我们可以写成 $F'(x)$ 来代替 $\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}$。类似地，$F''(x)$ 表示原函数 $F(x)$ 已对 $x$ 微分两次。