简易微积分20: 技巧、陷阱

本文介绍了积分计算中的多种技巧。首先，通过一个例子展示了变量代换法的应用。接着，介绍了“化简公式”，用于简化某些表达式以便积分，并提到“有理化”和“分母因式分解”是其他有用的技巧。文章还说明了拆分部分分式在积分中的重要性，并举例说明其用法。在陷阱部分，提醒初学者注意常见错误，比如误处理不定式或无效因子。最后，文章强调积分在解决微分方程中的重要性，指出微分方程的解往往转化为优雅且令人惊讶的形式，尽管它看似与原方程无关，就像蝴蝶与毛毛虫的关系一样。

第 20 章 技巧、陷阱

技巧

求解积分中很大一部分工作时调整成可以被积分的形式。有关积分计算的书籍（这里指的是严肃的书籍）充满了用于完成这类工作的计划、方法、技巧和巧妙手段。以下是其中的一些例子。

分部积分法

**分部积分法。**这一名称指的是一种技巧，其公式为：

\[ \int u dx = ux - \int x du + C. \]

在某些无法直接处理的情况下，它非常有用，因为它表明，如果能够找到 $\int x\, du$，那么也可以找到 $\int x\, du$。该公式的推导如下所示：由此处，我们有：

\[ d(ux) = u dx + x du, \]

可以写为：

\[ u(dx) = d(ux) - x du, \]

通过直接积分可得上述表达式。

示例

(1) 求解 $\int w · \sin w\, dw$。

令 $u = w$，对 $\sin w · dw$ 写作 $dx$。因此有 $du = dw$，而 $\int \sin w · dw = -\cos w = x$。

将这些代入公式，我们得到：

\begin{align*} \int w · \sin w\, dw &= w(-\cos w) - \int -\cos w\, dw \\ &=-w \cos w + \sin w + C. \end{align*}

(2) 求解 $\int x \epsilon^x\, dx$。

令 $u = x, \epsilon^x dx=dv$，

\[ $du = dx, v =\epsilon^x$. \]

因此：

\[ \int x\epsilon^x dx= x\epsilon^x - \int \epsilon^x dx \]

依据公式

\[ = x \epsilon^x - \epsilon^x = \epsilon^x(x-1) + C. \]

(3) 求解 $\int \cos^2 \theta\, d\theta$。

\begin{align*} u &= \cos \theta, &\cos \theta\, d\theta &= dv. \\ du&= -\sin \theta\, d\theta, & v &=\sin \theta, \end{align*}

\begin{align*} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \cos \theta \sin \theta+ \int \sin^2 \theta\, d\theta \\ &= \frac{2 \cos\theta \sin\theta}{2} +\int(1-\cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \int d\theta - \int \cos^2 \theta\, d\theta. \end{align*}

因此：

\begin{align*} 2 \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \theta \\ \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}

(4) 求解 $\int x^2 \sin x\, dx$。

\begin{align*} \text{Write }\; x^2 &= u, & \sin x\, dx &= dv; \\ \text{则 }\; du &= 2x\, dx, & v &= -\cos x, \end{align*}

\[ \int x^2 \sin x\, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x\, dx. \]

接下来通过分部积分法（像上面的例1一样）求出 $\int x \cos x\, dx$

\[ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x+C. \]

因此：

\begin{align*} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \sin x + \cos x \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align*}

(5) 求出 $\int \sqrt{1-x^2}\, dx$。

\begin{align*} \text{Write}\; u &= \sqrt{1-x^2},\quad dx=dv; \\ \text{则 }\; du &= -\frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}

且 $x=v$，那么

\[ \int \sqrt{1-x^2} dx=x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

在这里我们可以使用一个小技巧，因为我们可以写作：

\[ \int \sqrt{1-x^2} dx= \int \frac{(1-x^2) dx}{\sqrt{1-x^2}}= \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

将以上两式相加，我们可以消去 $\int \dfrac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}$，得到：

\[ 2 \int \sqrt{1-x^2} dx = x\sqrt{1-x^2} + \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

你是否记得 $\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$ 出现在哪里？它是通过对 $y=\arcsin x$ 求导得到的此处；因此它的积分为 $\arcsin x$，于是：

\[ \int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} + \tfrac{1}{2} \arcsin x +C. \]

现在你可以尝试自己做一些练习；你将在本章末尾找到一些题目。

变量代换。

这与第9章中解释的技巧相同。我们通过几个例子来说明其在积分中的应用。

(1) $\int \sqrt{3+x}\, dx$。 令

\[ 3+x = u, dx = du \]

替换

\[ \int u^{\frac{1}{2}} du= \tfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \tfrac{2}{3}(3+x)^{\frac{3}{2}}. \]

(2) $\int \dfrac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}}$。 令

\[ \epsilon^x = u, \]

\[ \epsilon^x = u,\quad \frac{du}{dx} = \epsilon^x,\quad dx = \frac{du}{\epsilon^x}; \\ \]

得到

\[ \int \frac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}} = \int \frac{du}{\epsilon^x(\epsilon^x+\epsilon^{-x})} = \int \frac{du}{u\left(u + \dfrac{1}{u}\right)} = \int \frac{du}{u^2+1}. \]

$\dfrac{du}{1+u^2}$ 是对 $\arctan x$ 求导的结果。

因此积分时 $\arctan \epsilon^x$。

(3) $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3} = \int \dfrac{dx}{x^2+2x+1+2} = \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+(\sqrt 2)^2}$。

令 $x+1=u,\quad dx=du$，那么积分就变成了 $\int \dfrac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}$，而 $\dfrac{du}{u^2+a^2}$ 是对 $u=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{u}{a}$ 求导的结果。

因此，最终给定积分的值为 $\dfrac{1}{\sqrt2} \arctan \dfrac{x+1}{\sqrt 2}$。

化简公式 是一种特殊形式，主要适用于需要积分的二项式和三角表达式，将其化简为已知积分形式。

有理化 和 分母因式分解 是适用于特定情况的技巧，但它们无法通过简单或通用的方式解释。要熟悉这些预备步骤，需要大量练习。

以下示例展示了如何在积分中运用第13章(参见此处)学到的拆分部分分式的方法。

再次考虑 $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3}$。若将 $\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ 拆分为部分分式，则可得到（参见此处）：

\begin{align*} \dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \left[\int \dfrac{dx}{x+1-\sqrt{-2}} - \int \dfrac{dx}{x+1+\sqrt{-2}} \right] \\ = \dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \log_\epsilon \dfrac{x+1-\sqrt{-2}}{x+1+\sqrt{-2}}. \end{align*}

注意，同一个积分有时可以用多种方式表示（这些方式是等价的）。

陷阱

初学者可能会忽略一些经验丰富者能够避免的关键点，例如使用可能导致零或无穷的因子，以及处理不定形式如 $\tfrac{0}{0}$ 的问题。没有可以适用于所有情况的金科玉律。只有通过实践和智慧的细心才能解决问题。一个需要规避的陷阱出现在第18章中，当我们尝试对 $x^{-1}\, dx$ 求积分时。

成功

所谓成功，是指微积分成功地解决了其他方法无法解决的问题。在研究物理关系时，人们常常能够建立一个公式来表示控制各部分或控制它们的力的相互作用规律，这种公式通常是一个微分方程，即包含导数或其他代数量的方程。当找到这样的微分方程后，除非能够将其积分，否则无法进一步解答。通常，写出合适的微分方程比求解它要容易得多——真正的难题在于积分。除非方程具备某种标准形式，其积分是已知的，否则问题才刚刚开始；但如果是已知形式，成功就轻而易举了。通过积分微分方程得到的结果被称为其“解” ¹，而令人惊讶的是，许多情况下“解”似乎与微分方程本身毫无关联，仿佛蝴蝶与毛毛虫的关系一样。谁能想到，这样一个看似简单的方程：

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^2-x^2} \]

最终竟能化为：

\[ y = \dfrac{1}{2a} \log_\epsilon \dfrac{a+x}{a-x} + C? \]

然而后者正是前者的解。

最后，我们一起求解上述方程：

通过部分分式分解：

\begin{align*} \frac{1}{a^2-x^2} &= \frac{1}{2a(a+x)} + \frac{1}{2a(a-x)}, \\ dy &= \frac {dx}{2a(a+x)}+ \frac{dx}{2a(a-x)}, \\ y &= \frac{1}{2a} \left( \int \frac{dx}{a+x} + \int \frac{dx}{a-x} \right) \\ &= \frac{1}{2a} \left(\log_\epsilon (a+x) - \log_\epsilon (a-x) \right) \\ &= \frac{1}{2a} \log_\epsilon \frac{a+x}{a-x} + C. \end{align*}

这并不是一个很难的转变！

有专门研究如何为不同形式找到“解”的论著，例如布尔（Boole）的《微分方程》（Differential Equations）。

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