简易微积分2: 不同程度的微小性

本章解释了在计算中，如果第一阶小量足够小，可以忽略更高阶的小量。通过时间、金钱和几何例子说明了小量的相对重要性。

第 2 章 不同程度的微小性

我们发现，在计算过程中，必须处理具有不同微小程度的数量。

我们还需要学会在什么情况下可以认为小量已经微小到可以忽略不计。所有这一切都取决于相对的微小性。

在制定任何规则之前，想想一些熟悉的例子。一个小时有60分钟，一天有24小时，一周有7天。因此，一天有1440分钟，一周有10080分钟。

显然，与整整一周相比，1分钟是一个非常小的时间量。事实上，前人曾认为与一小时相比，一分钟很小，称之为“一分钟”（one minùte），意思是微不足道的一小点，也就是六十分之一。当他们需要更小的时间单位时，将每一分钟分成60个更小的部分，在伊丽莎白女王时代，这些小部分被称为“秒钟”（second minùtes，即：第二级微小单位）。如今，我们称这些小量为“秒”(second)。但很少有人知道为什么它们被称为“秒”。

现在，如果1分钟与整整一天相比已经如此微小，那么1秒钟相比之下又是多么微小啊！

再想想一便士和一英镑：一便士只值一英镑的百分之一。一便士多或少对比一英镑几乎不重要：它可以被看作是一个很小的量。但是一便士和 1000 英镑相比这个更大的金额相比，就像是一便士的千分之一与一英镑比较一样，微不足道。而在百万富翁的财富面前，一英镑不过是微不足道的小量。

现在，如果我们将某个数值分数定为相对较小的比例，那么就可以轻松地列出其他更高阶微小程度的分数。比如，如果为了表示时间，$\frac{1}{60}$ 被称为一个小分数，那么 $\frac{1}{60}$ 的 $\frac{1}{60}$（即一个小分数的小分数）可以被视为第二级微小量。¹

或者，如果为了某个目的我们将 $\frac{1}{100}$ 定为微小的分数，那么百分之一的百分之一（即：$\frac{1}{10,000}$）将是第二级微小的小分数；而 $\frac{1}{1,000,000}$ 将是第三级微小的小分数，表示百分之一的百分之一的百分之一。

最后，假设为了精确起见，我们将 $\frac{1}{1,000,000}$ 视为“微小”。例如，如果一只顶级的计时器每年最多误差不超过半分钟，它必须保持1,051,200分之一的精度。就此目的，我们将 $\frac{1}{1,000,000}$ 视为一个小量，$\frac{1}{1,000,000}$ 的 $\frac{1}{1,000,000}$（即 $\frac{1}{1,000,000,000,000}$）将是第二级微小量，相比之下可以完全忽略不计。

然后我们看到，一个微量越小，第二阶相应的小量就越可以忽略不计。因此，我们知道在所有情况下，只要第一阶的小量足够小，就可以忽略第二阶、第三阶（或更高阶）的小量。

但必须记住，如果小量出现在我们的表达式中，作为与其他因子相乘的因子，它们可能会变得重要，特别是当其他因子本身很大时。即使是一个便士，如果它与几百倍相乘，也会变得重要。

在微积分中，我们用 $dx$ 来表示 $x$ 的一点点。诸如 $dx$、$du$ 和 $dy$ 这样的量被称为“微分”，即 $x$ 或 $u$ 或 $y$ 的差数。（可以读 dee-eks 、dee-you 或 dee-wy。如果 $dx$ 是 $x$ 的一小部分，并且相对于它本身也是小的，并不意味着像 $x · dx$、$x^2\, dx$ 或 $a^x\, dx$ 这样的量可以忽略不计。但是 $dx × dx$ 会被忽略不计，因为它是一个第二阶的小量

以一个非常简单的例子作为说明。

假设有一个数量 $x$ 可以增长一点，得到 $x + dx$，其中 $dx$ 就是通过增长加上去的微量。这个值的平方是 $x^2 + 2x · dx + (dx)^2$。第二项不是可以忽略的，因为它是一个一级小量；而第三项是第二阶微量，是 $x^2$ 的一小部分。因此，如果我们将 $dx$ 看作数值上大约是 $x$ 的 $\frac{1}{60}$，那么第二项将是 $x^2$ 的 $\frac{2}{60}$，而第三项将是 $x^2$ 的 $\frac{1}{3600}$。显然，最后一项比第二项更不重要。但是，如果我们进一步将 $dx$ 看作仅为 $x$ 的 $\frac{1}{1000}$，那么第二项将是 $x^2$ 的 $\frac{2}{1000}$，而第三项将仅为 $x^2$ 的 $\frac{1}{1,000,000}$。

在几何上，我们可以这样表示：画一个正方形(图1)，它的一边代表 $x$。现在假设这个正方形的每一边都增长了一个小量 $dx$。增大的正方形由原始的正方形 $x^2$、顶部和右侧的两个矩形组成，每个矩形的面积是 $x · dx$(或加在一起是 $2x · dx$)，右上角的小正方形的面积是 $(dx)^2$。在图2中，我们让 $dx$ 占了 $x$ 相当大一部分 – 约 1/5。但是，假设我们将 $dx$ 设定为仅为 $x$ 的 1/100，大约是用细笔画出的墨迹线的厚度。那么，右上角的小正方形的面积将是 $x^2$ 的 1/10,000，几乎看不见。显然，如果我们认为增量 $dx$ 本身足够小，那么 $(dx)^2$ 是可以忽略的。

我们做个比喻。

假设一个百万富翁对他的秘书说：下周不管我收到多少钱，都会给你这笔收入的一小部分。假设秘书又对他儿子说：我会给你我得到的一小部分。假设在每种情况下的比例都是 1/100。现在，如果百万富翁先生在下周收到了1000英镑，那么秘书将收到10英镑，而男孩将得到2先令。10英镑相对于1000英镑很少；但2先令也是一个非常小的小量，是一个非常次要的量。如果比例不是设为1/100，而是定为1/1000，那么差距会有多大？那时，百万富翁得到1000英镑，秘书只会得到1英镑，而男孩得到的只有一便士！

牛可能会担心一只普通大小的跳蚤 – 这是一个第一阶微小量的小生物。但是它可能不会为跳蚤身上的跳蚤烦恼；跳蚤身上的跳蚤是第二阶微小量，可以忽略不计。即使是一打跳蚤的跳蚤，对于这头牛来说也不会有太大的影响。