两个独立变量函数的极值问题
第 16 章 偏微分
我们有时会遇到一些量，它们是多个独立变量的函数。因此，可能会出现这样一种情况：$y$ 依赖于两个其他变量，一个记作 $u$，另一个记作 $v$。用符号表示：
\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u} du + \dfrac{\partial y}{\partial v} dv; \]
\[ y = f(u, v). \]
以最简单的具体情况为例，设
\[ y = u×v. \]
我们该如何处理呢？如果将 $v$ 视为常数，并对 $u$ 求导，就得到
\[ dy_v = v du; \]
或者，如果将 $u$ 视为常数，并对 $v$ 求导，则得到：
\[ dy_u = u dv. \]
这里的小字母下标用来表示在求导操作中哪个量被视为常数。
另一种表示“仅部分地”进行求导的方法，也就是说，仅针对某一个独立变量进行求导，是用希腊字母 $\partial$ 表示导数，而不是用小写 $d$。例如：
\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align*}
将这些值分别代入 $v$ 和 $u$，我们得到：
\begin{align*} dy_v = \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u = \frac{\partial y}{\partial v}\, dv, \end{align*}
这被称为“偏微分”。
但是，如果仔细思考，你会发现 $y$ 的总变化同时取决于这两个量的变化。也就是说，如果 $u$ 和 $v$ 都在变化，那么真实的 $dy$ 应写为：
\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u} du + \dfrac{\partial y}{\partial v} dv; \]
这称为“全微分”。在一些书中，全微分也被写为 $dy = \left(\dfrac{dy}{du}\right)\, du + \left(\dfrac{dy}{dv}\right)\, dv$。
示例 (1)
求表达式 $w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3$ 的偏导数。答案如下：
\[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{aligned} \right\} \]
第一个结果是将 $y$ 视为常数得到的，第二个结果是将 $x$ 视为常数得到的；于是有
\[ dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy. \]
示例 (2)
设 $z = x^y$。首先将 $y$，然后将 $x$ 视为常数，按通常方法求导得
\[ \left. \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y × \log_\epsilon x, \end{aligned}\right\} \]
因此，$dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \log_\epsilon x \, dy$。
示例 (3)
一个锥体，其高度为 $h$，地面半径为 $r$，体积 $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$。如果高度保持不变，而半径变化，体积相对于半径的变化率与当半径保持不变而高度变化时体积相对于高度的变化率不同。具体如下：
\[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{aligned}\right\} \]
当半径和高度都发生变化时，其变化由以下公式给出：
\[ dV = \dfrac{2\pi}{3} rh\, dr + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh \]
示例 (4)
在下面的例子中，$F$ 和 $f$ 表示任意形式的函数。例如正弦函数、指数函数或两个独立变量 $t$ 和 $x$ 的代数函数。在理解这一点之后，设以下表达方式：
\begin{align*} y &= F(x+at) + f(x-at), \\ y &= F(w) + f(v); \\ w &= x+at,\quad v = x-at. \\ \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F'(w) · 1 + f'(v) · 1 \end{align*}
这里的数字 $1$ 是 $w$ 和 $v$ 中 $x$ 的系数。
\begin{align*} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} &= F''(w) + f''(v). && \\ \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F'(w) · a - f'(v) a; \\ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \\ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align*}
这个微分方程在数学物理中具有极其重要的意义。
两个独立变量函数的极大值与极小值
示例 (5)
我们再次取第九章第四题作为练习。
设 $x$ 和 $y$ 为绳子两段的长度，第三段为 $30 - (x + y)$，围成三角形，面积为 $A = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-30+x+y)}$，其中 $s$ 为半周长，即 $15$。因此，$A = \sqrt{15P}$，其中
\begin{align*} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align*}
显然，当 $P$ 取最大值时，$A$ 也取最大值。
\[ dP = \dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy. \]
要取得极大值（显然这里不会是极小值），需要同时满足以下条件：
\begin{align*} \dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \\ \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0; \end{align*}
即：
\[ \begin{aligned} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{aligned} \]
一个直接的解是 $x = y$。
将此条件代入 $P$ 的表达式中，可得：
\[ P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]
为求极值，需满足
\[ \dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0 \]
解得 $x = 15$ 或 $x = 10$。
显然，$x = 15$ 给出的是最小面积，而 $x = 10$ 给出的是最大面积，因为
\[ \dfrac{d^2 P}{dx^2} = 12x - 150 \]
当 $x=15$ 时，等于 $+30$；当 $x=10$ 时，等于 $-30$。
示例 (6)
求一种普通铁路运煤车（两端为矩形）的尺寸，使在体积 $V$ 给定的条件下，其侧面与底面的总面积尽可能小。
该车为一个顶部敞开的矩形箱体。设 $x$ 为长度，$y$ 为宽度，则深度为 $\dfrac{V}{xy}$ 。其表面积为 $S=xy + \dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}$。
\begin{align*} dS &= \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy \\ &= \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \end{align*}
要使表面积最小（显然这里不会是最大值），需要满足
\begin{align*} y - \frac{2V}{x^2} = 0, \\ x - \frac{2V}{y^2} = 0. \end{align*}
这里同样可以直接解得 $x = y$，因此 $S = x^2 + \dfrac{4V}{x}$，对于最小值，有 $\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V}{x^2} =0$ ，解得
\[ x = \sqrt[3]{2V}. \]