第 15 章 如何处理正弦和余弦
希腊字母通常用来表示角度，我们将用字母 $\theta$ (“theta”) 来表示任何可变角度。
我们来研究函数：
\[ y= \sin \theta. \]
我们需要研究的是 $\dfrac{d(\sin \theta)}{d \theta}$ 的值；换句话说，当角度 $\theta$ 变化时，我们需要找到正弦增量和角度增量之间的关系，两个增量本身都可以看作无限小。请参考图 43，如果圆的半径为 1，那么 $y$ 的高度就是正弦值，而 $\theta$ 是角度。如果假设 $\theta$ 增加了一个小角度 $d \theta$，即一个角元素，那么 $y$ 的高度（即正弦值）将增加一个小元素 $dy$。新高度 $y + dy$ 是新角度 $\theta + d \theta$ 的正弦值，用方程表示为：
\[ y+dy = \sin(\theta + d \theta); \]
从中减去第一个方程可以得到：
\[ dy = \sin(\theta + d \theta)- \sin \theta. \]
右边的量是两个正弦值之差，而三角学的书告诉我们如何处理这个问题。根据三角公式，对于任意两角 $M$ 和 $N$，有：
\[ \sin M - \sin N = 2 \cos\frac{M+N}{2}·\sin\frac{M-N}{2}. \]
如果令 $M = \theta + d \theta$ 和 $N = \theta$，我们可以写为：
\begin{align*} dy &= 2 \cos\frac{\theta + d\theta + \theta}{2} · \sin\frac{\theta + d\theta - \theta}{2},\\ dy &= 2\cos(\theta + \tfrac{1}{2}d\theta) · \sin\tfrac{1}{2} d\theta. \end{align*}
如果将 $d \theta$ 视为无限小，那么在极限情况下，我们可以忽略 $\tfrac{1}{2} d \theta$ 相对于 $\theta$ 的影响，并将 $\sin\tfrac{1}{2} d \theta$ 视为 $\tfrac{1}{2} d \theta$。于是方程变为：
\begin{align*} dy &= 2 \cos \theta × \tfrac{1}{2} d \theta; \\ dy &= \cos \theta · d \theta, \\ \dfrac{dy}{d \theta} &= \cos \theta. \end{align*}
图44和图45按比例显示了 $y = \sin \theta$ 和 $\dfrac{dy}{d\theta} = \cos \theta$ 在对应 $\theta$ 值下的曲线。
接下来处理余弦。
设：$y=\cos \theta$。
由于 $\cos \theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$，
因此：
\begin{align*} dy &= d\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) × d(-\theta) \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) × (-d\theta) \\ \frac{dy}{d\theta} &= -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right). \end{align*}
因此：
\[ \frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta. \]
最后处理正切。设：
\begin{align*} y &= \tan \theta, \\ dy &= \tan(\theta + d\theta) - \tan\theta. \\ \end{align*}
展开（根据三角学书籍）：
\begin{align*} \tan(\theta + d\theta) &= \frac{\tan\theta + \tan d\theta} {1 - \tan\theta·\tan d\theta}; \\ dy &= \frac{\tan\theta + \tan d\theta} {1-\tan\theta·\tan d\theta} - \tan\theta \\ &= \frac{(1 + \tan^2\theta)\tan d\theta} {1-\tan\theta·\tan d\theta}. \end{align*}
当 $d\theta$ 无限减小时，$\tan d\theta$ 等于 $d\theta$，而 $\tan\theta \cdot d\theta$ 相对于 $1$ 可以忽略，因此表达式简化为：
\begin{align*} dy &= \frac{(1+\tan^2 \theta)\, d\theta}{1}, \\ \frac{dy}{d\theta} &= 1 + \tan^2\theta, \\ \frac{dy}{d\theta} &= \sec^2 \theta. \end{align*}
总结结果如下：
| $y$ | $\dfrac{dy}{d\theta}$ |
|---|---|
| $\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
| $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ |
| $\tan\theta$ | $\sec^2 \theta$ |
有时，在机械和物理问题中，例如在简谐运动和波动中，我们需要处理角度随时间成比例增加的情况。例如，若 $T$ 是一个完整周期或绕圆一周的时间，那么由于整个圆的角度为 $2\pi$ 弧度（或 $360°$），在时间 $t$ 内经过的角度为：
\[ \theta = 2\pi\frac{t}{T}, \]
以弧度计，或
\[ \theta = 360\frac{t}{T}, \]
以角度计。
如果频率（每秒的周期数）用 $n$ 表示，那么 $n = \dfrac{1}{T}$，于是可以写为：
\[ \theta=2\pi nt. \]
此时，正弦函数可以表示为：
\[ y = \sin 2\pi nt. \]
现在，如果我们希望知道正弦函数随时间的变化情况，需要对时间 $t$ 求导，而不是对 $\theta$ 求导。为此，我们需要使用在第9章中解释的方法，将其拆分为：
\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{d\theta} · \frac{d\theta}{dt}. \]
显然，$\dfrac{d\theta}{dt}$ 等于 $2\pi n$，因此：
\begin{align*} \frac{dy}{dt} &= \cos \theta × 2\pi n \\ &= 2\pi n · \cos 2\pi nt. \\ \end{align*}
类似地，可以得出：
\[ \frac{d(\cos 2\pi nt)}{dt} = -2\pi n · \sin 2\pi nt. \]
正弦或余弦的二阶导数
我们已经看到，当 $\sin \theta$ 对 $\theta$ 求导时得到 $\cos \theta$；而 $\cos \theta$ 对 $\theta$ 求导时得到 $-\sin \theta$。用符号为：
\[ \frac{d^2(\sin \theta)}{d\theta^2} = -\sin \theta. \]
因此，我们得到一个有趣的结果：如果对某个函数求两次导数，会得到与原函数相同但符号相反的结果。
同样的结论也适用于余弦函数：对 $\cos\theta$ 求导得到 $-\sin\theta$，而对 $-\sin\theta$ 求导又得到 $-\cos\theta$，即：
\[ \frac{d^2(\cos\theta)}{d\theta^2} = -\cos\theta. \]
正弦和余弦是唯一一种二阶导数等于（且符号相反于）原函数的函数。
示例
通过所学的内容，我们现在可以对更复杂的表达式求导。
(1) $y=\arcsin x$.
如果 $y$ 是正弦值为 $x$ 的弧度，则 $x = \sin y$ 。
\[ \frac{dx}{dy}=\cos y. \]
从反函数回到原函数，可以得到：
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{\cos y}. \\ \cos y &= \sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \end{align*}
这是一个相当意外的结果。
(2) $y=\cos^3 \theta$.
这与 $y =(\cos \theta)^3$ 是同一个表达式。
令 $\cos\theta=v$，则 $y=v^3$，并且 $\dfrac{dy}{dv}=3v^2$。
\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= -\sin\theta.\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dy}{dv} × \frac{dv}{d\theta} = -3 \cos^2 \theta \sin\theta. \end{align*}
(3) $y=\sin(x+a)$.
令 $x+a=v$，则 $y=\sin v$;
\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \cos v;\\ \frac{dv}{dx} &= 1 \\ \frac{dy}{dx} &= \cos(x+a). \end{align*}
(4) $y=\log_\epsilon \sin \theta$.
令 $\sin\theta=v$，则 $y=\log_\epsilon v$.
\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{v};\quad \frac{dv}{d\theta}=\cos\theta;\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{\sin\theta} × \cos\theta = \cot\theta. \end{align*}
(5) $y=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$.
\begin{align*} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{-\sin^2\theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ &= -(1+\cot^2 \theta) = -\text{cosec}^2 \theta. \end{align*}
(6) $y=\tan 3\theta$.
令 $3\theta=v$，则 $y=\tan v$，并且 $\dfrac{dy}{dv}=\sec^2 v$。
\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= 3;\\ \frac{dy}{d\theta} &= 3 \sec^2 3\theta. \end{align*}
(7) $y = \sqrt{1+3\tan^2\theta}$; $y=(1+3 \tan^2 \theta)^{\frac{1}{2}}$.
令 $3\tan^2\theta=v$，则：
\begin{align*} y &= (1+v)^{\frac{1}{2}};\\ \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{2\sqrt{1+v}} \end{align*}
若令 $\tan \theta = u$：
\begin{align*} v &= 3u^2;\quad \frac{dv}{du} = 6u;\quad \frac{du}{d\theta} = \sec^2 \theta; \\ \frac{dv}{d\theta} &= 6 (\tan \theta \sec^2 \theta) \\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{6\tan\theta \sec^2\theta}{2\sqrt{1 + 3\tan^2\theta}}. \end{align*}
(8) $y=\sin x \cos x$。
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \sin x(-\sin x) + \cos x × \cos x \\ &= \cos^2 x - \sin^2 x. \end{align*}