本文提供了多个示例，展示了“衰减因子”概念如何应用于各种物理现象，包括热体冷却、电流衰减、光强度减弱和放射性物质衰变。这些示例说明了指数衰减模型如何应用于现实过程，并且时间常数在确定衰减速率中起着关键作用。
第 14 章 (b) 衰减曲线
如果我们将 $p$ 作为一个适当的分数（小于1），则曲线显然会向下沉降，正如在图42中所示，其中每个连续的纵坐标是前一个的 $\frac{3}{4}$。
方程仍然是
\[ y=bp^x \]
但由于 $p$ 小于1，$\log_\epsilon p$ 将是一个负数，可以写作 $-a$；因此 $p = \epsilon^{-a}$，现在我们的曲线方程变为
\[ y=b\epsilon^{-ax} \]
这个表达式的重要性在于，在独立变量是 时间 的情况下，这个方程表示了许多物理过程的轨迹，这些过程中的某些事物在 逐渐消失。因此，热体的冷却过程（根据牛顿的著名“冷却定律”）可以用以下方程表示：
\[ \theta_t=\theta_0 \epsilon^{-at} \]
其中 $\theta_0$ 是热体与其周围环境温度的初始差值，$\theta_t$ 是时间 $t$ 结束时的温度差值，$a$ 是一个常数——即衰减常数，依赖于物体暴露的表面积、物体的导热系数和发射系数等。
类似的公式，
\[ Q_t=Q_0 \epsilon^{-at} \]
用于表示一个带电物体的电荷，它最初具有电荷 $Q_0$，电荷随着一个衰减常数 $a$ 渐渐流失；这个常数在此情况下依赖于物体的电容量和泄漏路径的电阻。
施加在柔性弹簧上的振动在一段时间后消失；振动幅度的衰减可以用类似的方式表示。
实际上，在所有衰减速率与正在衰减的量成比例的现象中，$\epsilon^{-at}$ 是衰减因子。换成我们常用的符号，就是 $\frac{dy}{dt}$ 在每一时刻都与 $y$ 的值成比例。我们只需要检查图42中的曲线，就能看到，在它的每一部分，斜率 $\frac{dy}{dx}$ 与高度 $y$ 成比例；随着 $y$ 变小，曲线变得更加平坦。用符号表示： $y=b\epsilon^{-ax}$ 或者
\begin{align*} \log_\epsilon y &= \log_\epsilon b - ax \log_\epsilon \epsilon \\ &= \log_\epsilon b - ax \\ \end{align*}
求导得到
\begin{align*} \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= -a; \\ \frac{dy}{dx} &= b\epsilon^{-ax} × (-a) = -ay \end{align*}
或者用文字描述，曲线的斜率是向下的，并且与 $y$ 和常数 $a$ 成比例。
如果我们以以下形式得到方程，也会得到相同的结果：
\[ y = bp^x \]
因为在这种情况下
\[ \frac{dy}{dx} = bp^x × \log_\epsilon p \]
但是
\[ \log_\epsilon p = -a; \]
这给我们
\[ \frac{dy}{dx} = y × (-a) = -ay \]
就像之前一样。
时间常数。
在“衰减因子” $\epsilon^{-at}$ 的表达式中，$a$ 是另一个量的倒数，称为“时间常数”，我们可以用符号 $T$ 来表示它。然后，衰减因子可以写为 $\epsilon^{-\frac{t}{T}}$；通过设定 $t = T$，可以看出 $T$（或者 $\frac{1}{a}$）的含义是，这段时间是原始量（在前面的例子中为 $\theta_0$ 或 $Q_0$）衰减为其原始值的 $\frac{1}{\epsilon}$ 部分——即到达 $0.3678$ 时所需的时间。
在物理学的不同领域中，$\epsilon^x$ 和 $\epsilon^{-x}$ 的值经常被用到，而由于它们在数学表中列出得非常少，为了方便起见，这里列出了一些常见的值。
| $x$ | $\epsilon^x$ | $\epsilon^{-x}$ | $1-\epsilon^{-x}$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1.0000$ | $1.0000$ | $0.0000$ |
| $0.10$ | $1.1052$ | $0.9048$ | $0.0952$ |
| $0.20$ | $1.2214$ | $0.8187$ | $0.1813$ |
| $0.50$ | $1.6487$ | $0.6065$ | $0.3935$ |
| $0.75$ | $2.1170$ | $0.4724$ | $0.5276$ |
| $0.90$ | $2.4596$ | $0.4066$ | $0.5934$ |
| $1.00$ | $2.7183$ | $0.3679$ | $0.6321$ |
| $1.10$ | $3.0042$ | $0.3329$ | $0.6671$ |
| $1.20$ | $3.3201$ | $0.3012$ | $0.6988$ |
| $1.25$ | $3.4903$ | $0.2865$ | $0.7135$ |
| $1.50$ | $4.4817$ | $0.2231$ | $0.7769$ |
| $1.75$ | $5.755$ | $0.1738$ | $0.8262$ |
| $2.00$ | $7.389$ | $0.1353$ | $0.8647$ |
| $2.50$ | $12.182$ | $0.0821$ | $0.9179$ |
| $3.00$ | $20.086$ | $0.0498$ | $0.9502$ |
| $3.50$ | $33.115$ | $0.0302$ | $0.9698$ |
| $4.00$ | $54.598$ | $0.0183$ | $0.9817$ |
| $4.50$ | $90.017$ | $0.0111$ | $0.9889$ |
| $5.00$ | $148.41$ | $0.0067$ | $0.9933$ |
| $5.50$ | $244.69$ | $0.0041$ | $0.9959$ |
| $6.00$ | $403.43$ | $0.00248$ | $0.99752$ |
| $7.50$ | $1808.04$ | $0.00055$ | $0.99947$ |
| $10.00$ | $22026.5$ | $0.000045$ | $0.999955$ |
举例说明。例如，假设有一个热体在冷却，实验开始时（即当 $t = 0$ 时）它比周围物体的温度高 $72°$，且它的冷却时间常数是 $20$ 分钟（即，它的温度过剩将需要 $20$ 分钟才能降至原始温度的 $\dfrac{1}{\epsilon}$ 部分），那么我们可以计算它在任何给定时间 $t$ 时温度降到的数值。例如，假设 $t$ 为 $60$ 分钟。那么 $\dfrac{t}{T} = 60 ÷ 20 = 3$，我们需要找到 $\epsilon^{-3}$ 的值，然后将原始的 $72°$ 温度乘以这个值。表中显示 $\epsilon^{-3}$ 为 $0.0498$。因此，在 $60$ 分钟结束时，温度过剩将降至 $72° × 0.0498 = 3.586°$。
更多例子
(1) 一个导体中电流的强度，假设在施加电动势后经过 $t$ 秒，电流强度可由以下表达式给出：
\[ C = \dfrac{E}{R}\left\{1 - \epsilon^{-\frac{Rt}{L}}\right\} \]
其中时间常数为 $\dfrac{L}{R}$。
如果 $E = 10$，$R = 1$，$L = 0.01$，那么当 $t$ 非常大时，项 $\epsilon^{-\frac{Rt}{L}}$ 会趋近于 1，这时 $C = \dfrac{E}{R} = 10$；同时，
\[ \frac{L}{R} = T = 0.01. \]
该电流在任何时刻的值可以写成：
\[ C = 10 - 10\epsilon^{-\frac{t}{0.01}}, \]
其时间常数为 $0.01$。这意味着，变量项需要 $0.01$ 秒才能衰减至初值的 $\dfrac{1}{\epsilon} = 0.3678$，即从初始值 $10\epsilon^{-\frac{0}{0.01}} = 10$ 衰减至 $10 \times 0.3678 = 3.678$。
为了求得当 $t = 0.001$ 秒时的电流强度，设 $\dfrac{t}{T} = 0.1$，从表中查得 $\epsilon^{-0.1} = 0.9048$。
因此，经过 $0.001$ 秒后，变量项为 $0.9048 \times 10 = 9.048$，实际电流为 $10 - 9.048 = 0.952$。
同样，经过 $0.1$ 秒后，
\[ \frac{t}{T} = 10; \]
\[ \epsilon^{-10} = 0.000045; \]
变量项为 $10 \times 0.000045 = 0.00045$，实际电流为 $9.9995$。
(2) 通过一定厚度 $l$ 厘米的透明介质传播的光束的强度 $I$ 为 $I = I_0 \epsilon^{-Kl}$，其中 $I_0$ 是光束的初始强度，$K$ 是“吸收常数”。
这个常数通常通过实验来确定。例如，如果实验表明，光束在穿过 $10$ 厘米某种透明介质时，强度减少了 18%，这意味着 $82 = 100 \times \epsilon^{-K \times 10}$ 或 $\epsilon^{-10K} = 0.82$，从表中可以看到，$10K = 0.20$ 非常接近；因此 $K = 0.02$。
要找出使光强减半的厚度 $l$，我们需要求解满足以下等式的 $l$：$50 = 100 × \epsilon^{-0.02l}$ 或者 $0.5 = \epsilon^{-0.02l}$。通过将此方程转换为对数形式：
\[ \log 0.5 = -0.02 × l × \log \epsilon, \]
可以得到：
\[ l = \frac{-0.3010}{-0.02 × 0.4343}= 34.7 \text{厘米，近似值.}. \]
(3) 一种放射性物质在未发生转化时的数量 $Q$ 与物质的初始数量 $Q_0$ 之间的关系为 $Q = Q_0 \epsilon^{-\lambda t}$，其中 $\lambda$ 是常数，$t$ 是自转化开始以来的时间（单位：秒）。
对于“铀 $A$”，如果时间以秒为单位，则实验表明 $\lambda = 3.85 \times 10^{-3}$。求使物质转化一半所需的时间（这个时间称为物质的“平均寿命”）。
我们有：$0.5 = \epsilon^{-0.00385t}$。
\begin{align*} \log 0.5 &= -0.00385t × \log \epsilon; \\ t &= 3\text{ 分钟，近似值}. \end{align*}