本文讲解了对数和指数函数的求导方法。首先介绍了包含线性项的自然对数的求导过程，然后通过常数因子将十进制对数转换为自然对数来求导。接着，通过将指数函数用自然对数表示，系统推导出其导数。最后强调了对数与指数之间的联系，它们的导数在定义中存在内在的关联性。
第 14 章 (a) 复利与有机增长定律
设有一个量，其增长方式是：在给定时间内，增长的增量总是与其自身的大小成正比。这种增长方式类似于按照某个固定利率计算的货币利息：本金越大，在给定时间内的利息也越多。
现在，在计算中，我们必须明确区分两种情况，这取决于计算是按照算术书中所称的“单利”进行的，还是按照“复利”进行的。因为在前一种情况下，本金保持不变；而在后一种情况下，利息被加入本金中，因此本金通过连续的累加而增长。
(1) 单利
考虑一个具体的例子。假设初始本金为 100，年利率为 10%。那么，本金的所有者每年都会获得 10 的增量。假设他每年提取利息并储存起来，例如放进一个袜子或锁在保险箱里。那么，如果他这样连续操作 10 年，到那时，他将收到 10 个 10 的增量，共计 100，加上最初的 100，总计 200。他的财产将在 10 年内翻倍。如果利率是 5%，他需要储存 20 年才能使财产翻倍。如果只有 2%，他需要储存 50 年。很容易看出，如果每年的利息是本金的 $\dfrac{1}{n}$，那么他需要储存 $n$ 年才能使财产翻倍。
如果 $y$ 表示初始本金，年利息是 $\dfrac{y}{n}$，那么在 $n$ 年后，他的财产将为：
\[ y + n\dfrac{y}{n} = 2y. \]
(2) 复利
和上面一样，假设所有者以 100 为本金，每年利率为 10%；但这次，他将利息加入本金中，这样本金逐年增长。于是，一年后，本金将增长到 110；第二年（仍为 10% 利率）这 110 将产生 11 的利息。他将在第三年开始时有 121，本金上的利息为 12.2，于是第四年开始时，他将拥有 133.2，如此类推。通过计算可以发现，在 10 年后，总本金将增长到 259.7。实际上，我们可以看到，每一年，每 1 英镑都将产生 $\tfrac{1}{10}$ 英镑的利息，并且如果利息总是被加入本金，那么每一年将本金乘以 $\tfrac{11}{10}$，如果持续 10 年（即重复乘以该因子 10 次），本金将被乘以 $2.59374$。用符号表示：设 $y_0$ 为初始本金，$\dfrac{1}{n}$ 为每次操作的增加比例，$y_n$ 为第 $n$ 次操作结束时的本金值。则：
\[ y_n = y_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
然而，这种一年一算的复利算法并不完全公平；因为即使是在第一年内，这 100 本应一直在增长。例如，到半年末，本金至少应该是 105，若在接下来的半年中按 105 计算利息才更为合理。这相当于每半年 5% 的利率；如此，在 20 次操作中，每次操作本金将被乘以 $\tfrac{21}{20}$。按照这种算法，10 年后本金将增长到 265.65；因为：
\[ (1 + \tfrac{1}{20})^{20} = 2.653 \]
但即便如此，这个过程依然不够公平。例如，到了第一个月末，就应有一些利息产生，而半年一算的方式假设在六个月内本金保持不变。假如我们将一年分成 10 部分，每部分计算 1% 的月利率。那么在 10 年内将有 100 次操作：
\[ y_n = £100 \left( 1 + \tfrac{1}{100} \right)^{100} \]
计算结果为 270.95。
即使如此，这还不是最终结果。假如将 10 年分成 1000 部分，每部分为一年的 $\frac{1}{100}$，每部分计算 $\frac{1}{10}$% 的利率，那么：
\[ y_n = £100 \left( 1 + \tfrac{1}{1000} \right)^{1000} \]
结果为 $271.13$。
若进一步细分，将 10 年分成 10,000 部分，每部分为一年的 $\tfrac{1}{10000}$，则：
\[ y_n = £100 \left( 1 + \tfrac{1}{10,000} \right)^{10,000} \]
结果为 271.16。
最终可以看出，我们实际上试图找到表达式 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ 的极限值，我们会看到，该值大于2。随着 $n$ 越来越大，该表达式的值会越来越接近某个特定的极限值。无论 $n$ 多大，该表达式的值都越来越接近于：
\[ 2.71828\ldots \]
这是一个永远值得铭记的数字。
我们用几何图示来说明这些概念。在图36中，$OP$ 表示初始值，$OT$ 是数值增长所经历的整个时间。该时间被分为 10 个等间隔的时间段，每个时间段的增量相等。在这里，$\dfrac{dy}{dx}$ 是一个常数。如果每个增量是初始值 $OP$ 的 $\frac{1}{10}$，那么通过 10 个这样的增量，数值的高度将加倍。如果我们分成 20 个增量，每个增量的高度是图中显示的一半，最后的高度仍然会恰好加倍。或者，分成 $n$ 个增量，每个增量是初始高度 $OP$ 的 $\dfrac{1}{n}$，仍然可以使高度加倍。这就是单利的情况。这里是一个数值从 1 增长到 2。
在图 37中，我们有一个几何级数的对应图示。每个连续纵坐标的高度是 $1 + \dfrac{1}{n}$，即其前一纵坐标的 $\dfrac{n+1}{n}$ 倍。这些增量并不相等，因为现在每个增量是曲线该部分纵坐标的 $\dfrac{1}{n}$。如果我们真的取 10 个增量，并以 $\left(1 + \frac{1}{10} \right)$ 作为增长因子，那么最终的总值将是：$(1 + \tfrac{1}{10})^{10}$，或者是原始值的 $2.594$ 倍。但如果我们将 $n$ 取得足够大（相应地 $\dfrac{1}{n}$ 足够小），那么 $1$ 最终将增长到 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ 的值，而这个值将趋近于 $2.71828$。
Epsilon
对于这个神秘的数字 $2.7182818$…，数学家们用希腊字母 $\epsilon$（读作 epsilon）来表示。所有学生都知道希腊字母 $\pi$(读作pi)代表 $3.141592$…，但有多少人知道epsilon 代表 $2.71828$ 呢？然而，这个数字甚至比 $\pi$ 更重要！
那么，epsilon到底是什么呢？
假设我们让 $1$ 按照单利增长，直到它变为 $2$；然后，如果以相同的名义利率，并在相同的时间内，让 $1$ 按真正的复利增长而不是单利增长，它将增长到值 epsilon。
有人把这种在每一时刻成比例地增长的过程称为对数增长速率。单位对数增长速率是在单位时间内能使 $1$ 增长为 $2.718281$ 的速率。这种增长方式也可以称为有机增长速率，因为有机增长的特征（在某些情况下）就是在给定时间内，生物体的增量与生物体本身的大小成正比。
如果我们将 100% 作为速率单位，将任意固定时间作为时间单位，那么让 $1$ 以算术速率在单位时间内增长，结果是 $2$；而让 $1$ 以对数速率在相同时间内增长，结果是 $2.71828\ldots$。
关于 Epsilon 的一点补充我们已经看到，我们需要知道当 $n$ 变得无限大时，表达式 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ 达到的值。算术上，我们可以通过一张普通的对数表，计算出 $n = 2$，$n = 5$，$n = 10$，一直到 $n = 10,000$ 时的数值，并将其汇总成表格。
\begin{alignat*}{2} &(1 + \tfrac{1}{2})^2 &&= 2.25. \\ &(1 + \tfrac{1}{5})^5 &&= 2.488. \\ &(1 + \tfrac{1}{10})^{10} &&= 2.594. \\ &(1 + \tfrac{1}{20})^{20} &&= 2.653. \\ &(1 + \tfrac{1}{100})^{100} &&= 2.705. \\ &(1 + \tfrac{1}{1000})^{1000} &&= 2.7169. \\ &(1 + \tfrac{1}{10,000})^{10,000} &&= 2.7181. \end{alignat*}
然而，可以用另一种方式来计算这个极其重要的数字。
我们将利用二项式定理展开表达式 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$。
二项式定理的规则是：
\begin{align*} (a + b)^n &= a^n + n \dfrac{a^{n-1} b}{1!} + n(n - 1) \dfrac{a^{n-2} b^2}{2!} \\ & \phantom{= a^n\ } + n(n -1)(n - 2) \dfrac{a^{n-3} b^3}{3!} + \ldots \\ \end{align*}
将 $a = 1$，$b = \dfrac{1}{n}$，我们得到：
\begin{align*} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{n - 1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{n^2} \\ &\phantom{= 1 + 1\ } + \dfrac{1}{4!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{n^3} + \ldots. \end{align*}
现在，如果假设 $n$ 无限大，比如达到十亿，或者十亿的十亿倍，那么 $n - 1$，$n - 2$，$n - 3$ 等都可以近似看作 $n$，于是这个级数变成：
\[ \epsilon = 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \ldots\ldots \]
通过取这个快速收敛的级数的任意多项，我们可以将其求和至任意所需的精度。以下是用十项的计算结果：
| $1.000000$ | |
|---|---|
| 除以 1 | $1.000000$ |
| 除以 2 | $0.500000$ |
| 除以 3 | $0.166667$ |
| 除以 4 | $0.041667$ |
| 除以 5 | $0.008333$ |
| 除以 6 | $0.001389$ |
| 除以 7 | $0.000198$ |
| 除以 8 | $0.000025$ |
| 除以 9 | $0.000002$ |
| 总计 | $2.718281$ |
$\epsilon$ 是不可通约的，与 $1$ 无法整除，并且类似 $\pi$，是一个无穷的、非循环的小数。
指数级数
我们还需要另一个级数。
再次利用二项式定理展开 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{nx}$，当 $n$ 无限大时，这等同于 $\epsilon^x$。
\begin{align*} \epsilon^x &= 1^{nx} + nx \frac{1^{nx-1} \left(\dfrac{1}{n}\right)}{1!} + nx(nx - 1) \frac{1^{nx - 2} \left(\dfrac{1}{n}\right)^2}{2!} \\ & \phantom{= 1^{nx}\ } + nx(nx - 1)(nx - 2) \frac{1^{nx-3} \left(\dfrac{1}{n}\right)^3}{3!} + \ldots.\\ &= 1 + x + \frac{1}{2!} · \frac{n^2x^2 - nx}{n^2} + \frac{1}{3!} · \frac{n^3x^3 - 3n^2x^2 + 2nx}{n^3} + \ldots. \\ &= 1 + x + \frac{x^2 -\dfrac{x}{n}}{2!} + \frac{x^3 - \dfrac{3x^2}{n} + \dfrac{2x}{n^2}}{3!} + \ldots. \end{align*}
当 $n$ 无限大时，这个表达式简化为：
\[ \epsilon^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \]
这个级数称为指数级数。
$\epsilon$ 被认为重要的主要原因是 $\epsilon^x$ 具 有一种其他 $x$ 的函数所不具备的性质：它的微分值与其自身相同。换句话说，它的导数和原函数是一样的。这可以通过对 $x$ 求导立即看出：
\begin{align*} \frac{d(\epsilon^x)}{dx} &= 0 + 1 + \frac{2x}{1 · 2} + \frac{3x^2}{1 · 2 · 3} + \frac{4x^3}{1 · 2 · 3 · 4} \\ &\phantom{= 0 + 1 + \frac{2x}{1 · 2} + \frac{3x^2}{1 · 2 · 3}\ } + \frac{5x^4}{1 · 2 · 3 · 4 · 5} + \ldots. \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{1 · 2} + \frac{x^3}{1 · 2 · 3} + \frac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \ldots., \end{align*}
这个结果与原来的级数完全相同。
现在我们也可以反过来思考：假设我们希望找到一个 $x$ 的函数，其导数与其本身相等。那么是否存在一个仅由 $x$ 的幂次项组成的表达式，在求导后保持不变？为此，我们假设一个一般表达式：
\[ y = A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \ldots \]
(其中系数 $A$，$B$，$C$ 等需要确定），然后对其求导。
\[ \dfrac{dy}{dx} = B + 2Cx + 3Dx^2 + 4Ex^3 + \ldots \]
如果这个新的表达式确实与其原函数相同，那么很明显：$A = B$，$C=\dfrac{B}{2}=\dfrac{A}{1· 2}$，$D = \dfrac{C}{3} = \dfrac{A}{1 · 2 · 3}$，$E = \dfrac{D}{4} = \dfrac{A}{1 · 2 · 3 · 4}$ …
因此变化规律是：
\[ y = A\left(1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 · 2} + \dfrac{x^3}{1 · 2 · 3} + \dfrac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \ldots\right). \]
如果为了进一步简化取 $A = 1$，我们得到：
\[ y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 · 2} + \dfrac{x^3}{1 · 2 · 3} + \dfrac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \ldots \]
不管求几次导数，都会得到相同的级数。
如果我们取 $A = 1$ 的特殊情况，并计算这个级数，结果是：
当 $x = 1$ 时，$y = 2.718281\ldots$，即 $y = \epsilon$；
当 $x = 2$ 时，$y =(2.718281 \ldots)^2$，即 $y = \epsilon^2$；
当 $x = 3$ 时，$y =(2.718281 \ldots)^3$，即 $y = \epsilon^3$；
因此：当 $x=x$ 时，$y=(2.718281 \ldots)^x$，即 $y=\epsilon^x$。
因此我们最终证明了：
\[ \epsilon^x = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1·2} + \dfrac{x^3}{1· 2· 3} + \dfrac{x^4}{1· 2· 3· 4} + \ldots \]
如何阅读指数
对于没有导师指导的学习者来说，以下注释可能有用：“$\epsilon^x$”读作“epsilon 的 $x$ 次幂”；也有人读作“指数 $x$”。所以 $\epsilon^{pt}$ 读作 “epsilon的pt次幂”或“指数pt” 。例如，$\epsilon^{-2}$ 读作“$\epsilon$ 的负二次幂”或“指数负二”。类似地，$\epsilon^{-ax}$ 读作“$\epsilon$ 的负 $a$ 倍 $x$ 次幂”或“指数负 $a$ $x$”。
显然，$\epsilon^y$ 对 $y$ 求导时仍保持不变。而 $\epsilon^{ax}$ 等于 $(\epsilon^a)^x$，当对 $x$ 求导时，其结果是 $a\epsilon^{ax}$，因为 $a$ 是常数。
自然对数或奈普尔对数
$\epsilon$ 重要的另一个原因是，它被对数的发明者奈普尔用作其系统的基数。如果 $y$ 是 $\epsilon^x$ 的值，那么 $x$ 是以 $\epsilon$ 为底的 $y$ 的对数。也就是说：
\[ y = \epsilon^x \\ \]
则
\[ x = \log_\epsilon y \]
这两个方程绘制的曲线见图38和图39中。
计算出的点是：
| $x$ | $0$ | $0.5$ | $1$ | $1.5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $1.65$ | $2.71$ | $4.50$ | $7.39$ |
对应图38
| $y$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $0$ | $0.69$ | $1.10$ | $1.39$ | $2.08$ |
对应图39
可以看出，尽管计算得出的用于绘图的点不同，但结果实际上是相同的。这两个方程表达的是相同的含义。
由于许多人使用的是以 $10$ 为底的普通对数，而不是以 $\epsilon$ 为底的“自然”对数，因此有必要对自然对数进行一些说明。普通对数中的规则——对数相加等于乘积的对数——在这里仍然适用，即：
\[ \log_\epsilon a + \log_\epsilon b = \log_\epsilon ab. \]
幂的规则也同样适用：
\[ n × \log_\epsilon a = \log_\epsilon a^n. \]
但是，由于基数不再是 $10$，不能简单地通过在指数上加 $2$ 或 $3$ 来实现乘以 $100$ 或 $1000$。可以通过将自然对数乘以 $0.4343$ 将其转换为普通对数，公式为：
\[ \log_{10} x = 0.4343 × \log_{\epsilon} x, \]
反之亦然：
\[ \log_{\epsilon} x = 2.3026 × \log_{10} x. \]
一张有用的“奈普尔对数”表
(也称为自然对数或双曲对数)
| Number | $\log_{\epsilon}$ | Number | $\log_{\epsilon}$ | |
|---|---|---|---|---|
| $1 $ | $0.0000$ | $6$ | $1.7918$ | |
| $1.1$ | $0.0953$ | $7$ | $1.9459$ | |
| $1.2$ | $0.1823$ | $8$ | $2.0794$ | |
| $1.5$ | $0.4055$ | $9$ | $2.1972$ | |
| $1.7$ | $0.5306$ | $10$ | $2.3026$ | |
| $2.0$ | $0.6931$ | $20$ | $2.9957$ | |
| $2.2$ | $0.7885$ | $50$ | $3.9120$ | |
| $2.5$ | $0.9163$ | $100$ | $4.6052$ | |
| $2.7$ | $0.9933$ | $200$ | $5.2983$ | |
| $2.8$ | $1.0296$ | $500$ | $6.2146$ | |
| $3.0$ | $1.0986$ | $1000$ | $6.9078$ | |
| $3.5$ | $1.2528$ | $2000$ | $7.6009$ | |
| $4.0$ | $1.3863$ | $5000$ | $8.5172$ | |
| $4.5$ | $1.5041$ | $10 000$ | $9.2103$ | |
| $5.0$ | $1.6094$ | $20 000$ | $9.9035$ |
指数和对数方程
现在，我们尝试对包含对数或指数的某些表达式进行微分。
考虑以下方程：
\[ y = \log_\epsilon x. \]
首先将其变形为：
\[ \epsilon^y = x, \]
因此，由于 $\epsilon^y$ 对 $y$ 的微分仍然是原函数本身
\[ \frac{dx}{dy} = \epsilon^y, \]
然后从反函数返回到原函数：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = \frac{1}{\epsilon^y} = \frac{1}{x}. \]
这是一项非常奇特的结果。它可以写作：
\[ \frac{d(\log_\epsilon x)}{dx} = x^{-1}. \]
注意，这个 $x^{-1}$ 的结果是无法通过微分幂的规则得到的。该规则是用幂乘以系数，然后将幂减一。例如，微分 $x^3$ 得到 $3x^2$，微分 $x^2$ 得到 $2x^1$。但是，微分 $x^0$ 并不会得到 $x^{-1}$ 或 $0 × x^{-1}$，因为 $x^0 = 1$，是一个常数。我们将在积分一章中回到这个奇特的事实，即微分 $\log_\epsilon x$ 得到 $\dfrac{1}{x}$。
现在，尝试对以下函数求导：
\[ y = \log_\epsilon(x+a), \]
即
\[ \epsilon^y = x+a; \]
因此，有：$\dfrac{d(x+a)}{dy} = \epsilon^y$，因为 $\epsilon^y$ 的导数仍然是 $\epsilon^y$。这就得出：
\[ \frac{dx}{dy} = \epsilon^y = x+a; \]
因此，返回到原函数，我们得到：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{x+a}. \]
接下来，尝试：
\[ y = \log_{10} x. \]
首先，通过乘以模数 $0.4343$ 将其转化为自然对数。这给出：
\[ y = 0.4343 \log_\epsilon x; \]
因此：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{0.4343}{x}. \]
下一步稍微复杂一些。尝试以下函数：
\[ y = a^x. \]
对两边取对数，得到：
\begin{align*} \log_\epsilon y &= x \log_\epsilon a, \\ x = \frac{\log_\epsilon y}{\log_\epsilon a} &= \frac{1}{\log_\epsilon a} × \log_\epsilon y. \end{align*}
因为 $\dfrac{1}{\log_\epsilon a}$ 是一个常数，因此：
\[ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\log_\epsilon a} × \frac{1}{y} = \frac{1}{a^x × \log_\epsilon a}; \]
因此，返回到原函数：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = a^x × \log_\epsilon a. \]
我们看到，由于：
\begin{align*} \frac{dx}{dy} × \frac{dy}{dx} &= 1 \\ \frac{dx}{dy} &= \frac{1}{y} × \frac{1}{\log_\epsilon a}, \\ \frac{1}{y} × \frac{dy}{dx} &= \log_\epsilon a. \end{align*}
我们会发现，只要有一个类似于 $\log_\epsilon y =$ 一个关于 $x$ 的函数的表达式时，总有：$\dfrac{1}{y}\, \dfrac{dy}{dx} =$ 该函数关于 x 的导数，因此我们可以直接从：$\log_\epsilon y = x \log_\epsilon a$ 写出：
\begin{align*} \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \log_\epsilon a \\ \frac{dy}{dx} &= a^x \log_\epsilon a. \end{align*}
现在我们尝试更多的例子。
例子
(1) $y=\epsilon^{-ax}$.令 $-ax=z$，则 $y=\epsilon^z$。
\begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \epsilon^z;\\ \frac{dz}{dx} &= -a;\\ \frac{dy}{dx} &= -a\epsilon^{-ax}. \end{align*}
因此：
\begin{align*} \log_\epsilon y &= -ax;\\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= -a;\\ \frac{dy}{dx} = -ay &= -a\epsilon^{-ax}. \end{align*}
(2) $y=\epsilon^{\frac{x^2}{3}}$，令 $\dfrac{x^2}{3}=z$，即 $y=\epsilon^z$。
\begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \epsilon^z; \\ \frac{dz}{dx} &= \frac{2x}{3}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \end{align*}
因此：
\begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{x^2}{3}; \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{2x}{3}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \end{align*}
(3) $y = \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}$。
\begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{2x}{x+1},\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+1)^2} \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}. \end{align*}
通过令 $\dfrac{2x}{x+1}=z$ 来验证。
(4) $y=\epsilon^{\sqrt{x^2+a}}$. $\log_\epsilon y=(x^2+a)^{\frac{1}{2}}$.
\begin{align*} \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}} \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{x × \epsilon^{\sqrt{x^2+a}}}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \end{align*}
如果设 $(x^2+a)^{\frac{1}{2}}=u$，$x^2+a=v$，则 $u=v^{\frac{1}{2}}$,
\begin{align*} \frac{du}{dv} &= \frac{1}{{2v}^{\frac{1}{2}}}; \\ \frac{dv}{dx} &= 2x; \\ \frac{du}{dx} &= \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \end{align*}
令 $\sqrt{x^2+a}=z$ 来验证。
(5) $y=\log(a+x^3)$.
令 $(a+x^3)=z$，则 $y=\log_\epsilon z$。
\begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\\ \frac{dz}{dx} &= 3x^2; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3x^2}{a+x^3}. \end{align*}
(6) $y=\log_\epsilon\{{3x^2+\sqrt{a+x^2}}\}$.
令 $3x^2 + \sqrt{a+x^2}=z$，则 $y=\log_\epsilon z$。
\begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 6x + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{6x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{3x^2 + \sqrt{a+x^2}} = \frac{x(1 + 6\sqrt{x^2+a})}{(3x^2 + \sqrt{x^2+a}) \sqrt{x^2+a}}. \end{align*}
(7) $y=(x+3)^2 \sqrt{x-2}$.
\begin{align*} \log_\epsilon y &= 2 \log_\epsilon(x+3)+ \tfrac{1}{2} \log_\epsilon(x-2). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+3)} + \frac{1}{2(x-2)}; \\ \frac{dy}{dx} &= (x+3)^2 \sqrt{x-2} \left\{\frac{2}{x+3} + \frac{1}{2(x-2)}\right\}. \end{align*}
(8) $y=(x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}}$。
\begin{align*} \log_\epsilon y &= 3 \log_\epsilon(x^2+3) + \tfrac{2}{3} \log_\epsilon(x^3-2); \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= 3 \frac{2x}{(x^2+3)} + \frac{2}{3} \frac{3x^2}{x^3-2} = \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2}. \end{align*}
如果 $y=\log_\epsilon(x^2+3)$，令 $x^2+3=z$，则 $u=\log_\epsilon z$。
\begin{align*} \frac{du}{dz} &= \frac{1}{z}; \\ \frac{dz}{dx} &= 2x; \\ \frac{du}{dx} &= \frac{2x}{x^2+3}. \end{align*}
同样，如果 $v=\log_\epsilon(x^3-2)$，$\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{3x^2}{x^3-2}$ 且
\[ \frac{dy}{dx} = (x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}} \left\{ \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2} \right\}. \]
(9) $y=\dfrac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}}$.
\begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{1}{2} \log_\epsilon(x^2+a) - \frac{1}{3} \log_\epsilon(x^3-a). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2}\, \frac{2x}{x^2+a} - \frac{1}{3}\, \frac{3x^2}{x^3-a} = \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}} \left\{ \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \right\}. \end{align*}
(10) $y=\dfrac{1}{\log_\epsilon x}$
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{\log_\epsilon x × 0 - 1 × \dfrac{1}{x}} {\log_\epsilon^2 x} \\ &= -\frac{1}{x \log_\epsilon^2x}. \end{align*}
(11) $y=\sqrt[3]{\log_\epsilon x} = (\log_\epsilon x)^{\frac{1}{3}}$
令 $z=\log_\epsilon x$; $y=z^{\frac{1}{3}}$。
\begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{3} z^{-\frac{2}{3}};\\ \frac{dz}{dx} &= \frac{1}{x};\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{3x \sqrt[3]{\log_\epsilon^2 x}}. \end{align*}
(12) $y=\left(\dfrac{1}{a^x}\right)^{ax}$。
\begin{align*} \log y &= -ax \log a^{x} = -ax^{2} \cdot \log a.\\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= -2ax \cdot \log a\\ \frac{dy}{dx} &= -2ax\left(\frac{1}{a^{x}}\right)^{ax} \cdot \log a = -2x a^{1-ax^{2}} \cdot \log a. \end{align*}