本文讨论了将分式分解为部分分式的技巧，特别是涉及幂因式和多项式因式的复杂分母的情况。主要内容包括：
- 当分母中有二次因式时，分子可能需要包含线性项，而不仅仅是常数项。
2.利用方程和代入法求解部分分式系数的策略。
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对于分母中存在重复因式的情况，解释了如何为每个幂次因式添加对应的项。
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介绍了一种快速代换方法，用于简化单一因式幂的分式。
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部分分式在微分中的应用，展示了分解如何简化计算过程。
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强调验证结果的重要性，说明部分分式分解确保等价表达式，并简化微分和积分操作。
第 13 章 其他有用的技巧
部分分式
我们已经看到，对一个分式进行求导时，需要执行一个相当复杂的操作。如果分式本身并不是一个简单的分式，结果一定会是一个复杂的表达式。如果能将分式分解为两个或多个较简单的分式，使它们的和等于原始分式，那么就可以分别对这些较简单的表达式求导。这样，求导的结果就是两个（或更多）相对简单的导数的和，最终的表达式当然和不用这种技巧直接求导得到的结果是一样的，但使用这种方法可以更轻松地完成，并且以更简化的形式呈现结果。
我们看看如何实现这个目标。首先尝试将两个分式相加以形成一个合成分式。比如，取两个分式 $\dfrac{1}{x+1}$ 和 $\dfrac{2}{x-1}$。任何中学生都能将它们相加，得到 $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$。同样地，也可以将三个或更多的分式相加。显然，这个过程是可以逆转的：也就是说，如果给出最后的表达式，可以肯定它可以以某种方式分解回其原始成分或部分分式。只是，我们并不总是知道每种情形下的分式该如何分解。为了弄清楚这一点，首先从一个简单的情况开始。但重要的是要记住，以下讨论只适用于所谓的“真”代数分式，这意味着分式如上例所示，其分子的次数低于分母；即分子中 $x$ 的最高指数小于分母中 $x$ 的最高指数。如果遇到的是像 $\dfrac{x^2+2}{x^2-1}$ 这样的表达式，可以通过除法简化，因为它等价于 $1+\dfrac{3}{x^2-1}$；其中 $\dfrac{3}{x^2-1}$ 是一个真代数分式，可以按照接下来解释的方法将其分解为部分分式。
情况 I
如果对多个分母中只包含 $x$ 的一次项（没有 $x^2$、$x^3$ 或更高次项）的分式进行相加运算，我们总是会发现，最终分式的分母是组成该分式的各分母的乘积。因此，通过对最终分式的分母进行因式分解，我们可以找到组成该分式的部分分式的所有分母。
假设我们希望将 $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ 分解为已知的 $\dfrac{1}{x+1}$ 和 $\dfrac{2}{x-1}$ 的形式。如果不知道这些成分是什么，可以通过如下方式准备：
\[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{}{x+1} + \frac{}{x-1}, \]
先将分母写出，并在分子位置留空，直到知道应该填入什么为止。我们总是假设部分分式之间的符号是加号，因为如果符号是减号，把相应的分子当作负数即可。由于部分分式是真分式，其分子不会包含 $x$，只是常数，我们可以用 $A$，$B$，$C$ 等符号表示它们。因此，在此例中，我们可以写为：
\[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}. \]
现在，如果将这两个部分分式相加，会得到：
\[ \dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)} \]
这必然等于
\[ \dfrac{3x+1}{(x+1)(x-1)} \]
由于这两个表达式的分母相同，其分子必须相等，因此：
\[ 3x + 1 = A(x-1) + B(x + 1). \]
这是一个含两个未知数的方程，似乎我们需要另一个方程才能解出 $A$ 和 $B$。然而，还有一种更简单的方法来解决这个问题。这个方程对于 $x$ 的所有取值都成立；因此，它也必须对使 $x-1$ 和 $x+1$ 变为零的 $x$ 值成立，即 $x=1$ 和 $x=-1$。当 $x=1$ 时： $4 = (A × 0)+(B × 2)$，因此 $B=2$。当 $x=-1$ 时：$-2 = (A × -2) + (B × 0)$，因此 $A=1$。将部分分式的 $A$ 和 $B$ 替换为这些值，得到： $\dfrac{1}{x+1}$ 和 $\dfrac{2}{x-1}$，这就是所求的分解结果。
再看一个例子，设有分式
\[ \dfrac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} \]
分母在 $x=1$ 时变为零，因此 $x-1$ 是其一个因式；显然，另一个因式是 $x^2 + 4x + 3$。对其继续因式分解，得 $(x+1)(x+3)$。于是，分式可以写为：
\[ \frac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3}, \]
表示为三个部分分式。
按照前述方法，展开并将等式两边分子相等：
\[ 4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x-1). \]
当 $x=1$ 时：
\begin{align*} -8 &= (A × 0) + B(2 × 4) + (C × 0); \\ B &= -1. \end{align*}
当 $x=-1$ 时：
\begin{align*} -12 &= A(-2 × 2) + (B × 0) + (C × 0); \\ A &= 3. \end{align*}
当 $x=-3$ 时：
\begin{align*} 16 &= (A × 0) + (B × 0) + C(-2 × -4); \\ C &= 2. \end{align*}
部分分式分解为：
\[ \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+3}, \]
这比原来的复杂表达式更容易对 $x$ 求导。
情况 II
如果分母的一些因式包含 $x^2$ 项，且无法方便地进一步因式分解，则对应的分子可能包含一个 $x$ 项以及一个常数项；因此需要将未知分子表示为 $Ax + B$，而不是用符号 $A$，其余计算过程与之前一致。例如，考虑以下分式：
\begin{align*} \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)}. \\ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1};\\ -x^2 - 3 &= (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1). \end{align*}
令 $x= -1$，得到 $-4 = C × 2$，即 $C = -2$；因此
\begin{align*} -x^2 - 3 &= (Ax + B)(x + 1) - 2x^2 - 2; \\ x^2 - 1 &= Ax(x+1) + B(x+1). \end{align*}
令 $x = 0$，得到 $-1 = B$，因此
\begin{align*} x^2 - 1 &= Ax(x + 1) - x - 1; \\ x^2 + x &= Ax(x+1); \\ x+1 &= A(x+1) \end{align*}
所以 $A=1$，分解后的部分分式为：
\[ \frac{x-1}{x^2+1} - \frac{2}{x+1}. \]
再看另一个例子：
\[ \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)}. \]
我们可以写为：
\begin{align*} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}. \end{align*}
在这种情况下，确定 $A$、$B$、$C$、$D$ 并不那么容易。可以按照以下方法简化：由于给定的分式与通过相加部分分式得到的分式是相等的，并且它们具有相同的分母，因此分子的形式也必须完全相同。在这种情况下，对于我们正在处理的此类代数表达式，相同次幂的 $x$ 的系数必须相等且符号相同。
因此我们有：
\begin{align*} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align*}
得到：$1=A+C$；$0=B+D$(左边表达式中的 $x^2$ 系数为零)；$0=2A+C$; 和 $-2=2B+D$。这里有四个方程式，很容易解得 $A=-1$，$B=-2$，$C=2$，$D=0$，分解的部分分式为
\[ \dfrac{2(x+1)}{x^2+2} - \dfrac{x+2}{x^2+1} \]
这种方法适用于所有情况；但当分母只包含 $x$ 的一次项时，前述方法通常更快速。
情况 III
如果分母的某些因式被提升到某次幂，则需要考虑可能存在以这些因式的不同次幂为分母的部分分式。例如，在分拆分式 $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ 时，必须考虑可能的分母包括 $x+1$，$(x+1)^2$ 和 $(x-2)$。
此外，由于分母为 $(x+1)^2$ 的分式的分子可能包含 $x$ 项，需写成 $Ax+B$ 的形式，因此：
\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-2}. \]
如果在上述情况下尝试求解 $A$、$B$、$C$ 和 $D$，我们会失败，因为未知数有四个，而仅有三个方程约束它们。然而：
\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{x-1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}. \]
如果写成：
\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2}, \]
则有：
\[ 3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)^2, \]
令 $x=2$，得到 $C=1$。用该值代替 $C$，并整理、合并同类项后除以 $x-2$，得到：$-2x= A+B(x+1)$，令 $x = -1$，得到 $A = -2$。用该值代替 $A$，进一步化简：
\[ 2x = -2+B(x+1). \]
因此，$B = 2$；部分分式为：
\[ \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \]
而不是之前提到的分式 $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}$。这种差异的原因在于，$\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$ 本身可以进一步分解为 $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}$，因此原分式实际上等价于：
\[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \]
这与部分分式分解的最终结果一致。
由此可见，只需在每个分子中考虑一个数值项，就足以得到最终的部分分式。
然而，如果分母包含 $x^2$ 的幂因式，则对应的分子必须采用 $Ax + B$ 的形式。例如：
\[ \frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac{Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1}, \]
由此得：
\[ 3x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2. \]
令 $x = -1$，得到 $E = -4$。用该值代替 $E$，整理并合并同类项后除以 $x + 1$，得到：
\[ 16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D). \]
比较系数，得到：$2C = 16$，即 $C = 8$；$2D = -16$，即 $D = -8$；$A - C = 0$ 即 $A - 8 = 0$，$A = 8$，最后 $B - D = 3$，即 $B = -5$。因此部分分式分解为：
\[ \frac{(8x - 5)}{(2x^2 - 1)^2} + \frac{8(x - 1)}{2x^2 - 1} - \frac{4}{x + 1}. \]
验证结果是有用的。最简单的方法是将 $x$ 替换为一个具体值（例如 $+1$），分别代入原表达式和分解后的部分分式。
当分母仅包含单一因式的幂时，可以采用一种快速方法：
以 $\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}$ 为例，令 $x + 1 = z$，则 $x = z - 1$。
替换后得到：
\[ \frac{4(z - 1) + 1}{z^3} = \frac{4z - 3}{z^3} = \frac{4}{z^2} - \frac{3}{z^3}. \]
因此部分分式为：
\[ \frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{3}{(x + 1)^3}. \]
应用于微分。例如需要对 $y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}$ 求导：
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) × 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align*}
如果将原表达式分解为：
\[ \frac{1}{3x-1} - \frac{2}{2x+3}, \]
求导后得到：
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x-1)^2} + \frac{4}{(2x+3)^2}, \]
这实际上与上述分式求导后结果相同，只是形式不同。很容易看出来，如果在求导后分解，会更加复杂。当处理类似表达式的积分时，我们会发现部分分式分解是一种非常有用的工具。