对于给定的二次函数，通过一阶导数找到临界点，二阶导数判断是极大值还是极小值。二阶导数为正时是极小值，为负时是极大值。
第 12 章 曲线的曲率
回到连续微分的过程，有人可能会问：为什么要进行两次微分？我们知道，当变量是空间和时间时，通过两次微分可以得到物体的加速度；在几何意义上，应用于曲线时，$\dfrac{dy}{dx}$ 表示曲线的斜率。但在这种情况下，$\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ 又是什么意思呢？显然，它表示斜率变化的速度（以单位长度 $x$ 为基准），简而言之，它是斜率曲率的一个量度。
假设斜率是常数，如图31所示。
此时，$\dfrac{dy}{dx}$ 是一个常值。
然而，假设有一种情况，如图32所示，斜率本身在向上增加，那么 $\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx}$，即 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$，将是正值。
如果斜率随着向右前进而减小（如图14或图33所示），即使曲线可能在向上，由于这种变化使斜率减小，因此其 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 将是负值。
现在是时候揭示另一个秘密了——如何判断通过“令其等于零”得到的结果是最大值还是最小值。诀窍是：在微分后（以得到需要令其等于零的表达式），再进行第二次微分，观察第二次微分的结果是正值还是负值。如果 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 是正值，那么得到的 $y$ 值是最小值；如果 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 是负值 ,那么得到的 $y$ 值是一个最大值。这就是规则。
其原因应该显而易见。想象一条在其中有最小点的曲线（如图34所示），最小 $y$ 点标记为 $M$，曲线在此处向上凹。在 $M$ 的左侧，斜率是向下的，即负值，并且逐渐变得不那么负。在 $M$ 的右侧，斜率变为向上，并且逐渐越来越向上。显然，当曲线经过 $M$ 时，斜率的变化是使 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 为正值，因为随着 $x$ 增加向右，其作用是将向下的斜率转变为向上的斜率。
类似地，考虑任何具有最大点的曲线（如图16或图35所示），曲线在此处向下凸，最大点标记为 $M$。在这种情况下，当曲线从左向右通过 $M$ 时，其向上的斜率变为向下的或负的斜率，因此此时“斜率的斜率” $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 是负值。
现在回到上一章的例子，用这种方法验证在特定情况下的结论是最大值还是最小值。你会在下面找到一些完整的例子。
(1) 求以下函数的最大值或最小值，
\begin{align*} \text{(a)}\quad y &= 4x^2-9x-6; \\ \text{(b)}\quad y &= 6 + 9x-4x^2; \\ \end{align*}
并判断其为最大值还是最小值。
\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= 8x-9=0;\quad x=1\tfrac{1}{8}, y = -11.065.\\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= 8 \end{align*}
\begin{align*} {\dfrac{dy}{dx}} &= 9-8x=0;\quad x = 1\tfrac{1}{8}; y = +11.065.\\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= -8; \end{align*}
(2) 求函数 $y = x^3-3x+16$ 的极大值和极小值。
\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= 3x^2 - 3 = 0;\quad x^2 = 1; x = ±1.\\
\dfrac{d^2y}{dx^2} &= 6x; \end{align*}
$x = 1$ 时为正值，因此，$x=1$ 对应于最小值 $y=14$。$x=-1$ 时为负值，因此 $x=-1$ 对应于最大值 $y=+18$。
(3) 求函数 $y=\dfrac{x-1}{x^2+2}$ 的极大值和极小值。
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2+2) × 1 - (x-1) × 2x}{(x^2+2)^2} \\ &= \frac{2x - x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2} \\ &= 0; \end{align*}
即 $x^2 - 2x - 2 = 0$，其解为 $x =+2.73$ 和 $x=-0.73$。
\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= - \frac{(x^2 + 2)^2 × (2x-2) - (x^2 - 2x - 2)(4x^3 + 8x)}{(x^2 + 2)^4} \\ &= - \frac{2x^5 - 6x^4 - 8x^3 - 8x^2 - 24x + 8}{(x^2 + 2)^4}. \end{align*}
分母始终为正，仅需确定分子的符号。
当 $x = 2.73$，分子为负，对应最大值 $y = 0.183$。
当 $x=-0.73$ 分子为正，对应最小值 $y=-0.683$ 。
(4) 某工厂产品的产品处理成本 $C$ 随周产量 $P$ 的关系为 $C = aP + \dfrac{b}{c+P} + d$，其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 均为正常数。求成本最小时的产量。
\[ \dfrac{dC}{dP} = a - \frac{b}{(c+P)^2} = 0 \]
最高或最低。
因此 $a = \dfrac{b}{(c+P)^2}$，$P = ±\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$。
由于产量不能为负，故 $P=+\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$ 。
\[ \frac{d^2C}{dP^2} = + \frac{b(2c + 2P)}{(c + P)^4}, \]
对所有 $P$ 为正，因此 $P = +\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$ 对应于最小值。
(5) 一栋建筑使用 $N$ 盏灯具照明的总成本为每小时 $C$。
\[ C = N\left(\frac{C_l}{t} + \frac{EPC_e}{1000}\right), \]
其中
- $ E$ 为商用效率（瓦/烛光）;
- $P$ 是为单灯烛光功率；
- $t$ 为单灯平均寿命（小时）；
- $C_l =$ 每小时灯泡更换成本；
- $C_e =$ 每千瓦时电能成本。
灯泡的平均寿命 $t$ 与其商用效率 $E$ 的关系为 $t = mE^n$，其中 $m$ 和 $n$ 为灯泡的特性常数。
求使照明总成本最低的商用效率。
我们有
\begin{align*} C &= N\left(\frac{C_l}{m} E^{-n} + \frac{PC_e}{1000} E\right), \\ \dfrac{dC}{dE} &= \frac{PC_e}{1000} - \frac{nC_l}{m} E^{-(n+1)} = 0 \end{align*}
时取最大值或最小值。
\begin{align*} E^{n+1} &= \frac{1000 × nC_l}{mPC_e} \\ E &= \sqrt[n+1]{\frac{1000 × nC_l}{mPC_e}}. \end{align*}
显然，这是最小值，因为
\[ \frac{d^2C}{dE^2} = (n + 1) \frac{nC_l}{m} E^{-(n+2)}, \]
对正值 $E$ 为正。
对于一种 $16$ 烛光功率灯，$C_l= 17$，$C_e=5$，$m=10$，$n=3.6$。
\[ E = \sqrt[4.6]{\frac{1000 × 3.6 × 17}{10 × 16 × 5}} = 2.6\text{ 瓦/每盏功率}. \]