第 11 章 极大值和极小值
微分过程的主要用途之一是确定在什么条件下，被微分的量的值会达到最大值或最小值。这在工程问题中往往至关重要，因为在这些问题中，了解什么条件可以使工作成本最小化或效率最大化是非常有价值的。
现在，让我们从一个具体的例子开始，考虑以下方程：
\[ y = x^2 - 4x + 7. \]
给 $x$ 指定一系列连续的值，并找到对应的 $y$ 值，我们可以很容易地看出该方程表示一条具有最小值的曲线。
| $x$ | $ 0$ | $ 1 $ | $2 $ | $3 $ | $4$ | $ 5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $ 7$ | $ 4 $ | $3 $ | $4 $ | $7$ | $ 12$ |
这些值绘制在图26中，该图显示 $y$ 在 $x$ 等于 $2$ 时显然有一个最小值 $3$。但是你确定最小值出现在 $2$ 吗？而不是 $x = \tfrac{1}{4}$ 或 $x = 1 \tfrac{3}{4}$?
当然，对于任何代数表达式，可以计算许多值，逐渐找到可能的最大值或最小值的具体值。
以下是另一个例子：
设 $y = 3x - x^2$。
计算一些值如下：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-4$ | $0$ | $2$ | $2$ | $0$ | $-4$ | $-10$ |
将这些值绘制在图27中。
显然，在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 之间的某个位置会有一个最大值，看起来 $y$ 的最大值大约是 $2 \tfrac{1}{4}$。尝试一些中间值 。如果 $x = 1 \tfrac{1}{4}$，$y = 2.187$；如果 $x = 1 \tfrac{1}{2}$，$y = 2.25$；如果 $x = 1.6$，$y = 2.24$。我们怎么能确定 $2.25$ 是真正的最大值，并且它确实出现在 $x = 1 \tfrac{1}{2}$ 时呢？
现在，或许听起来有些不可思议，其实有一种方法可以直接得出最大值（或最小值），而无需进行许多初步的尝试或猜测。这种方法依赖于微分。回顾前面的相关内容，你会发现，每当曲线达到最大值或最小值高度时，其导数 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 。这给我们提供了一个重要线索。当你面前有一个方程，并希望找到能使其 $y$ 达到最小值（或最大值）的 $x$ 值时，首先对方程进行微分，然后令 $\dfrac{dy}{dx}$ 等于零，并解出 $x$。将这个特定的 $x$ 值代入原始方程，便可得到所需的 $y$ 值 。这个过程通常被称为“令导数等于零”。
为了展示这个方法的简单性，来看看本章开头的例子：
\[ y = x^2 - 4x + 7. \]
微分后，得到：
\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4. \]
将其等于零：
\[ 2x - 4 = 0. \]
解此方程，得：
\begin{align*} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align*}
现在，我们知道最大值（或最小值）恰好发生在 $x=2$ 时。
将 $x=2$ 代入原始方程，得：
\begin{align*} y &= 2^2 - (4×2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align*}
现在回看图26，你会发现最小值出现在 $x = 2$ 时，其最小值 $y = 3$。
再尝试第二个例子（图24）：
\begin{align*} y &= 3x - x^2. \\ \frac{dy}{dx} &= 3 - 2x. \\ \end{align*}
令其等于零：
\begin{align*} 3 - 2x &= 0, \\ x &= 1 \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*}
将此 $x$ 值代入原始方程，得：
\begin{align*} y &= 4 \tfrac{1}{2} - (1 \tfrac{1}{2} × 1 \tfrac{1}{2}), \\ y &= 2 \tfrac{1}{4}. \end{align*}
这为我们提供了确切的信息，而尝试许多值的办法则无法确定。
在进一步讨论之前，有两点需要说明。当你被要求令 $\dfrac{dy}{dx}$ 等于零时，起初（如果你有自己的思考能力），你可能会感到某种抗拒，因为你知道 $\dfrac{dy}{dx}$ 在曲线的不同部分有各种不同的值，具体取决于曲线是向上还是向下倾斜。因此，当你突然被要求写下：
\[ \frac{dy}{dx} = 0, \]
你可能会感到疑惑，觉得这不可能正确。现在，你需要理解“一个方程”和“一个条件方程”之间的本质区别。通常情况下，你处理的方程是本身就为真的，但在某些情况下，例如现在的例子中，你需要写下一个并非始终为真的方程，而是只有在满足某些条件时才为真；写下它的目的是通过求解找到使其成立的条件。现在我们想找的是曲线既不上升也不下降的特定位置，也就是 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 的地方。所以，写下 $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 并不意味着它始终为零；但而是作为一种条件写下，以确定当 $\dfrac{dy}{dx}$ 为零时，$x$ 的值是多少。
第二个需要说明的点（如果你有自己的思考能力）你可能已经注意到：这种备受推崇的令导数为零的方法，完全无法告诉你找到的 $x$ 是会让 $y$ 取得最大值还是最小值。确实如此。此方法本身并不区分；它为你找到正确的 $x$ 值，但需要你自己判断对应的 $y$ 是最大值还是最小值。当然，如果你已经绘制了曲线，就已经知道结果了。
例如，考虑方程：
\[ y = 4x + \frac{1}{x}. \]
不必停下来思考它对应于什么曲线，直接对其求导，并令导数为零：
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 4 - x^{-2} \\ &= 4 - \frac{1}{x^2} \\ &= 0; \\ x &= \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*}
将这个值代入：
\[ y = 4 \]
将会是最大值或者最小值。但究竟是哪一个呢？稍后我们会介绍一种依赖于二阶导数的方法（见第十二章）。目前，只需尝试一个稍微偏离找到的 $x$ 值的其他值，看看对应的 $y$ 是大于还是小于已找到的值即可。
试试另一个简单的极值问题。假设要求你将一个数字分成两部分，使得两部分的乘积最大化。如果你不知道“令导数为零”的技巧，该如何解决？ 我想你只能反复尝试。假设数字是 $60$。你可以尝试将其分成两部分，并将它们相乘。例如，$50$ × $10$ = $500$，$52$ × $8$ = $416$，$40$ × $20$ = $800$，$45$ × $15$ = $675$，$30$ × $30$ = $900$。这看起来是最大值：再试试变化一下。$31$ × $29$ = $899$，这不好，$32$ × $28$ = $896$，更差。所以看起来，最大乘积是通过将数字分成两半获得的。
现在看看微积分怎么说。设这个数字为 $n$。如果一部分为 $x$，另一部分则是 $n-x$，它们的乘积是 $x(n-x)$，即 $nx-x^2$。因此，我们写出 $y=nx-x^2$。现在对其求导并令其为零：
\[ \dfrac{dy}{dx} = n - 2x = 0 \]
解出 $x$ 得到：
\[ \dfrac{n}{2} = x. \]
所以现在我们知道，无论数字 $n$ 是多少，如果希望两部分的乘积最大化，就必须将它分成相等的两部分；且最大乘积的值总是 $ = \tfrac{1}{4} n^2$。
这是一条非常有用的规则，适用于任意数量的因子，因此如果 $m+n+p=$ 一个常数，则 $m×n×p$ 在 $m=n=p$ 时达到最大值。
测试案例
我们立即将知识应用于一个可验证的例子：
\[ \text{ } y = x^2 - x; \]
并找出该函数是否有极大值或极小值；如果有，验证它是极大值还是极小值。
求导得：
\[ \frac{dy}{dx} = 2x - 1. \]
令 $2x - 1 = 0$，则 $2x = 1$，即 $x = \tfrac{1}{2}$.
这意味着当 $x =\frac{1}{2}$ 时，对应的 $y$ 值将是极大值或极小值。于是将 $x=\frac{1}{2}$ 代入原始方程，得：
\begin{align*} y &= (\tfrac{1}{2})^2 - \tfrac{1}{2} \\ &= -\tfrac{1}{4}. \end{align*}
这是极大值还是极小值？为检验这一点，试试将 $x$ 的设为稍大于 $\frac{1}{2}$ ，比如 $x=0.6$。那么：
\[ y = (0.6)^2 - 0.6 = 0.36 - 0.6 = -0.24, \]
比 $-0.25$ 更大，表明 $y = -0.25$ 是一个极小值。
绘制曲线以验证计算结果。
进一步例子
一个非常有趣的例子是具有极大值和极小值的曲线。其方程为：
\[ y =\tfrac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x + 1. \]
求导得：
\[ \dfrac{dy}{dx} = x^2 - 4x +3. \]
令其为零，得到二次方程：
\[ x^2 - 4x +3 = 0; \]
解此方程得两个根：
\[ \left\{ \begin{aligned} x &= 3 \\ x &= 1. \end{aligned} \right. \]
当 $x=3$ 时，$y=1$；当 $x=1$ 时，$y=2\frac{1}{3}$。第一个是极小值，第二个是极大值。
可通过从原始方程计算的值绘制曲线（如图28所示）来验证这一结果。
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-4\frac{1}{3}$ | $1$ | $2\frac{1}{3}$ | $1\frac{2}{3}$ | $1$ | $2\frac{1}{3}$ | $7\frac{2}{3}$ | $19$ |
以下示例进一步展示关于极值的练习：
半径为 $r$ 的圆，其圆心 $C$ 位于点 ($x=a$,$y=b$)（如图29所示），方程为：
\[ (y-b)^2 + (x-a)^2 = r^2. \]
这个方程可以变形为：
\[ y = \sqrt{r^2-(x-a)^2} + b. \]
通过简单观察图形，我们可以预先知道，当 $x=a$ 时，$y$ 要么取最大值 $b+r$，要么取最小值 $b-r$。但现在我们不依赖这个知识，而是通过求导并令其为零来找到使 $y$ 取得极值的 $x$ 值。
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} × (2a-2x) \\ &= \frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}}. \end{align*}
$y$ 取得极大值或极小值的条件是：
\[ \frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} = 0. \]
因为无论 $x$ 取任何值分母都不会无限大，唯一可能的条件是：
\[ x = a. \]
将此值代入圆的原始方程，得到：
\[ y = \sqrt{r^2}+b; \]
由于 $r^2$ 的平方根为 $+r$ 或 $-r$，我们得到两个 $y$ 的值：
\begin{align*} \left\{\begin{aligned}y \\ y\end{aligned}\right. & \begin{aligned}= b & + r \\ = b & - r.\end{aligned} \end{align*}
第一个值是顶部的最大值，第二个值是底部的最小值。
如果曲线没有极大值或极小值，那么求导并令其为零的过程将导致不可能的结果。例如：
令
\[ y = ax^3 + bx + c. \]
则
\[ \frac{dy}{dx} = 3ax^2 + b. \]
令其为零，得到 $3ax^2 + b = 0$
\begin{align*} x^2 &= \frac{-b}{3a} \\ x &= \sqrt{\frac{-b}{3a}} \end{align*}
这是不可能的结果。
因此 $y$ 没有极大值或极小值。
通过一些更多的实例，你可以彻底掌握这种有趣且实用的微积分应用。
(1) 在半径为 $R$ 圆内，面积最大的矩形的边长是多少？
设一条边为 $x$，则另一条边为：
\[ \sqrt{(\text{对角线长度})^2 - x^2}; \]
由于矩形的对角线必定是直径，另一条边为：$ = \sqrt{4R^2 - x^2}$。
矩形的面积为 $S = x\sqrt{4R^2 - x^2}$
\[ \frac{dS}{dx} = x × \dfrac{d\left(\sqrt{4R^2 - x^2}\right)}{dx} + \sqrt{4R^2 - x^2} × \dfrac{d(x)}{dx}. \]
如果你忘记如何对 $\sqrt{4R^2-x^2}$ 求导，可以这样做：设 $4R^2-x^2=w$，而 $y=\sqrt{w}$，分别求 $\dfrac{dy}{dw}$ 和 $\dfrac{dw}{dx}$。如果实在搞不定，可以参考此处。
最终可以得到：
\[ \dfrac{dS}{dx} = x × -\dfrac{x}{\sqrt{4R^2 - x^2}} + \sqrt{4R^2 - x^2} = \dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}}. \]
要取得极值，需满足：
\[ \dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} = 0; \]
即 $4R^2 - 2x^2 = 0$，解得 $x = R\sqrt{2}$。
另一条边为：
\[ \sqrt{4R^2 - 2R^2} = R\sqrt{2} \]
两条边相等，因此该矩形是一个正方形，其边长等于以半径构建的正方形对角线。显然，这种情况下我们求的是最大值。
(2) 一个锥形容器的侧面长度为 $l$ 时，其容器开口的半径是多少，才能使容器的容量最大？
设 $R$ 为开口的半径，$H$ 为为对应的高，则 $H = \sqrt{l^2 - R^2}$。
\[ \text{ } V = \pi R^2 × \dfrac{H}{3} = \pi R^2 × \dfrac{\sqrt{l^2 - R^2}}{3}. \]
按照上一题的方法，我们得到：
\begin{align*} \dfrac{dV}{dR} &= \pi R^2 × -\dfrac{R}{3\sqrt{l^2 - R^2}} + \dfrac{2\pi R}{3} \sqrt{l^2 - R^2} \\ &= \dfrac{2\pi R(l^2 - R^2) - \pi R^3}{3\sqrt{l^2 - R^2}} = 0 \end{align*}
用于最大值或最小值的条件。
化简得：$2\pi R(l^2 - R^2) - \pi R^2 = 0$，解得 $R = l\sqrt{\tfrac{2}{3}}$，显然是最大值。
(3) 求如下函数的极大值和极小值。
\[ y = \dfrac{x}{4-x} + \dfrac{4-x}{x}. \]
我们有：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(4-x)-(-x)}{(4-x)^2} + \dfrac{-x - (4-x)}{x^2} = 0 \]
用于极大值或极小值的条件；即：
\begin{align*} \dfrac{4}{(4-x)^2} - \dfrac{4}{x^2} &= 0 \\ x &= 2. \end{align*}
只有一个值，因此只有一个极大值或极小值。
\begin{align*} \text{当}\quad x &= 2,\phantom{.5}\quad y = 2, \\ \text{当}\quad x &= 1.5,\quad y = 2.27, \\ \text{当}\quad x &= 2.5,\quad y = 2.27; \end{align*}
因此这是一个极小值。（绘制函数图形会更直观。）
(4) 求函数 $y = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$ 的极大值和极小值。(绘制函数图形会很有启发。)
对其求导，直接得到：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0 \]
用于极大值或极小值的条件。
因此，$\sqrt{1+x} = \sqrt{1-x}$，解得 $x = 0$，这是唯一的解。
当 $x=0$，$y=2$。
当 $x=±0.5$，$y= 1.932$，因此这是极大值。
(5) 求如下函数的极大值和极小值
\[ y = \dfrac{x^2-5}{2x-4}. \]
我们有：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(2x-4) × 2x - (x^2-5)2}{(2x-4)^2} = 0 \]
用于极大值或极小值的条件；即
\[ \dfrac{2x^2 - 8x + 10}{(2x - 4)^2} = 0; \]
化简为 $x^2 - 4x + 5 = 0$，解得：
\[ x = \tfrac{5}{2} ± \sqrt{-1}. \]
由于解为虚数，因此 $x$ 没有实数值满足 $\dfrac{dy}{dx} = 0$，因此没有极大值或极小值。
(6) 求如下函数的极大值和极小值。
\[ (y-x^2)^2 = x^5. \]
化简为 $y = x^2 ± x^{\frac{5}{2}}$。
\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x ± \tfrac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} = 0 \]
用于极大值或极小值的条件；即： $x = 0$ 和 $2 ± \tfrac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} = 0$，解得 $x = 0$ 和 $x=\tfrac{16}{25}$，因此有两个解。因此,有两种解决办法。
首先取 $x = 0$。如果 $x = -0.5$，则 $y = 0.25 ± \sqrt[2]{-(.5)^5}$，如果 $x = +0.5$，则 $y = 0.25 ± \sqrt[2]{(.5)^5}$。在一侧，$y$ 是虚数，也就是说 $y$ 没有可以用图像表示的值；第二个值则完全位于 $y$ 轴的右侧(见图30)。
在绘制图像后，可以发现曲线到达原点，似乎在那里有一个极小值；但曲线并未像极小值那样继续超越原点，而是回溯其路径（形成所谓的“尖点”）。因此，尽管满足极小值的条件 $\dfrac{dy}{dx} = 0$，但实际上没有极小值。因此，必须通过取左右两侧的值来进行验证。
现在取 $x = \tfrac{16}{25} = 0.64$。当 $x = 0.64$，$y = 0.7373$ 和 $y = 0.0819$；当 $x = 0.6$，$y$ = $0.6389$ 和 $0.0811$；当 $x = 0.7$，$y$ = $0.8996$ 和 $0.0804$。
这表明曲线有两个分支；上分支未经过极大值，但下分支经过了一个极小值。
(7) 一个圆柱体的高是底面半径的两倍，体积随时间增加，且其各部分始终保持相同比例。当底面半径为 $r$ 厘米时，表面积以每秒 $20$ 平方厘米的速度增加，求此时体积增加的速率。
\begin{align*} \text{表面积} &= S = 2(\pi r^2)+ 2 \pi r × 2r = 6 \pi r^2.\\ \text{体积} &= V = \pi r^2 × 2r=2 \pi r^3.\\ \frac{dS}{dr} &= 12\pi r,\quad \frac{dV}{dr}=6 \pi r^2,\\ dS &= 12\pi r\, dr=20,\quad dr=\frac{20}{12 \pi r},\\ dV &= 6\pi r^2\, dr = 6 \pi r^2 × \frac{20}{12 \pi r} = 10r. \end{align*}
体积以 $10r$ 立方厘米每秒的速率变化。