第 10 章 微分几何意义
考虑微分系数的几何意义是很有用的。
首先，任何关于 $x$ 的函数，例如 $x^2$、$\sqrt{x}$ 或 $ax+b$，都可以绘制成曲线。如今，每个学生都熟悉绘制曲线的过程。
设 图7 中的 $PQR$ 是一个关于坐标轴 $OX$ 和 $OY$ 的曲线的一部分。考虑曲线上任意一点 $Q$，该点的横坐标为 $x$，纵坐标为 $y$。现在观察当 $x$ 发生变化时，$y$ 的变化情况。如果将 $x$ 向右增加一个小增量 $dx$，可以观察到 $y$ 也会增加一个小增量 $dy$（因为这条曲线是上升的曲线）。此时，增量比 $\dfrac{dy}{dx}$ 测量了曲线在两点 $Q$ 和 $T$ 之间的斜率。然而，由于曲线 $Q$ 和 $T$ 之间存在多种不同斜率，因此我们不能简单地定义“曲线在 $Q$ 和 $T$ 之间的斜率”。但如果点 $Q$ 和 $T$ 非常接近，以至于曲线 $QT$ 的小段几乎呈直线，那么可以认为 $\dfrac{dy}{dx}$ 是曲线在 $QT$ 段的斜率。延长这段小直线 $QT$，它只会触及曲线的 $QT$ 部分。如果 $QT$ 无限短，则直线几乎只会在一点上与曲线相切，因此称该直线为曲线在该点的切线。
显然，这条切线与 $QT$ 具有相同的斜率，因此 $\dfrac{dy}{dx}$ 就是曲线在点 $Q$ 处切线的斜率。
“曲线的斜率”这种简短的说法本身意义不明确，因为曲线有无数斜率——每一小段曲线都有不同的斜率。然而，“曲线在某点的斜率”是一个精确定义的概念，它表示曲线在该点附近的一小段的斜率，或者说是“曲线在该点的切线的斜率”。
注意，$dx$ 是向右的一个小步，$dy$ 是相应向上的一个小步。必这些步长应尽可能小，甚至可以视为无限小。然而，在图中，我们必须将它们绘制得大一点以便可见。
我们将在后续中频繁使用这一事实：$\dfrac{dy}{dx}$ 表示曲线在任意一点的斜率。
如果曲线在某点以 $45°$ 的角度上升（见 图 8），则 $dy$ 和 $dx$ 相等，$\dfrac{dy}{dx} = 1$ 。
如果曲线以比 $45°$(更陡的角度上升（见图9），则 $\dfrac{dy}{dx}$ 将大于 $1$。
如果曲线以非常平缓的角度上升（见图10），则 $\dfrac{dy}{dx}$ 小于 $1$。
如果曲线水平（即曲线中有水平段），$dy=0$，则 $\dfrac{dy}{dx}=0$!
如果曲线向下倾斜（见图11），$dy$ 为负值，因此 $\dfrac{dy}{dx}$ 也为负。
如果“曲线”是一条直线，如 图 12 所示，则 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值在直线上每一点都相同。换句话说，这条直线的斜率是恒定的。
如果一条曲线在向右延伸时变得越来越陡，则 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值会随着陡度的增加而变大，如图13所示。
如果一条曲线在向右延伸时变得越来越平缓，则 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值会随着平缓程度的增加而减小，如图14所示。
如果一条曲线先下降然后再次上升，如 图 15 所示，呈现出向上的凹形，那么很明显 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值会首先为负，并随着曲线变平缓而逐渐减小；当曲线的底部点达到最低点时，$\dfrac{dy}{dx}$ 的值为零；从这个点开始，$\dfrac{dy}{dx}$ 的值会变为正数，并随着曲线变得陡峭而增加。在这种情况下，$y$ 被称为经过了一个最小值。$y$ 的最小值不一定是其可能取得的最小数值，而是与曲线底部位置对应的 $y$ 值。例如，在图28中，曲线底部的 $y$ 值为 $1$，而曲线其他地方的 $y$ 值可能更小。最小值的特点是，$y$ 在其两侧都必须增加。
注意——当 $x$ 取某个值使 $y$ 取得最小值时，$\dfrac{dy}{dx} = 0$。
如果一条曲线先上升然后下降，如 图16所示，$\dfrac{dy}{dx}$ 的值在开始时为正；当曲线到达最高点时，$\dfrac{dy}{dx}=0$；然后随着曲线向下倾斜，$\dfrac{dy}{dx}$ 的值变为负数。在这种情况下，$y$ 被称为经过了一个最大值，但 $y$ 的最大值不一定是其可能取得的最大数值。例如，在图 28中，$y$ 的最大值是 $2\frac{1}{3}$，但这不一定是曲线其他部分中 $y$ 能取得的最大值。
注意——当 $x$ 取某个值使 $y$ 取得最大值时，$\dfrac{dy}{dx}= 0$。
如果一条曲线具有如 图 17 所示的特殊形状，则 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值始终为正，但在某个特定位置，曲线的斜率最小，此时 $\dfrac{dy}{dx}$ 取最小值，这意味着该值小于曲线其他部分的斜率值。
如果一条曲线具有如 图 18 所示的形状，则 $\dfrac{dy}{dx}$ 在曲线顶部为负值，在曲线底部为正值；而在曲线的“鼻子”位置（曲线变得完全垂直的地方），$\dfrac{dy}{dx}$ 的值将趋于无穷大。
现在我们理解了 $\dfrac{dy}{dx}$ 衡量曲线在任意点的陡峭程度，让我们看看一些已经学习过的微分方程：
(1) 作为最简单的例子，取：
\[ y=x+b. \]
用相同的比例尺绘制 $x$ 和 $y$ 的图像，如图19所示。如果我们取 $x = 0$，则对应的纵坐标为 $y = b$，也就是说，“曲线”在 $y$ 轴上高度为 $b$ 的位置与轴相交。从此点开始，每增加一个单位的 $x$，$y$ 都增加一个单位，形成 $45°$ 的上升角。直线的坡度为 $1$。
现在，通过我们已经学到的规则对 $y = x + b$ 进行微分，得到 $\dfrac{dy}{dx} = 1$。
这条直线的斜率表示每向右一个小步 $dx$，就向上一个小步 $dy$ $dy$。这个斜率是恒定的。
(2) 再来看一个例子：
\[ y = ax+b. \]
我们知道，这条曲线（与前例类似）将在 $y$ 轴上的高度 $b$ 处起点。但在绘制曲线之前，让我们先通过微分找到其斜率：$\dfrac{dy}{dx} = a$。斜率是恒定的，以一个角度上升，这个角度的正切值就是 $a$。假设 $a$ 是一个具体值，比如 $\frac{1}{3}$ 。那么曲线的斜率表示每上升 $1$ 个单位水平距离需要 $3$ 个单位，也就是 $dx$ 是 $dy$ 的 $3$ 倍。如图21所示。在图20中按照这个斜率绘制出曲线。
(3) 现在来看一个稍微复杂一点的例子：$y= ax^2 + b$。
同样，这条曲线在 $y$ 轴上的起点是高于原点 $b$ 的位置。
现在进行微分：(如果你忘记了规则，可以回到这里,不过更好的方法是思考这个微分过程。)
\[ \frac{dy}{dx} = 2ax. \]
这表明曲线的陡峭程度并不是恒定的：它随着 $x$ 的增大而增大。在起点 $P$（$x=0$）处，图22所示的曲线没有陡峭程度——也就是说，它在这一点是水平的。在原点左侧，当 $x$ 是负值时，$\dfrac{dy}{dx}$ 也会是负值，表明曲线从左向右下降，如图所示。
让我们通过一个特定的例子来说明这一点。取以下方程：
\[ y = \tfrac{1}{4}x^2 + 3, \]
对其求导，得到：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}x. \]
现在给 $x$ 赋一些连续值，比如从 $0$ 到 $5$，然后通过第一个方程计算相应的 $y$ 值，再通过第二个方程计算 $\dfrac{dy}{dx}$ 的值 。将结果制成表格如下：
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $3$ | $3\frac{1}{4}$ | $4$ | $5\frac{1}{4}$ | $7$ | $9\frac{1}{4}$ |
| $d$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $1\frac{1}{2}$ | $2$ | $2\frac{1}{2}$ |
然后将它们绘制为两条曲线：图 23 中是 $y$ 对 $x$ 的图；图 24 中是 $\dfrac{dy}{dx}$ 对 $x$ 的图。对于任何指定的 $x$ 值，第二条曲线中纵坐标的高度与第一条曲线的斜率成比例。
如果一条曲线在某点形成突然的尖点，如图25所示，则在该点的斜率会从向上突然变为向下。在这种情况下，$\dfrac{dy}{dx}$ 显然会从正值突然变为负值。
以下例子展示了刚才所讲原则的进一步应用。
(4) 求以下曲线在点 $x = -1$ 处的切线斜率。
\[ y = \frac{1}{2x} + 3, \]
计算该切线与曲线 $y = 2x^2 + 2$ 所成的角度。
切线的斜率等于曲线在两者相交点处的斜率，即曲线在该点的 $\dfrac{dy}{dx}$。此处的导数为：$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2x^2}$，当 $x = -1$ 时，$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2}$，这是曲线和切线在该点的斜率。切线是一条直线，其方程为 $y = ax + b$，其斜率 $\dfrac{dy}{dx} = a$，因此 $a = -\dfrac{1}{2}$。此外，当 $x= -1$ 时，$y = \dfrac{1}{2(-1)} + 3 = 2\frac{1}{2}$。由于切线通过该点，点的坐标必须满足切线方程，即：
\[ y = -\dfrac{1}{2} x + b, \]
代入 $x = -1$ 和 $y = 2\frac{1}{2}$，得到 $2\frac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}(-1) + b$，解得 $b = 2$。因此切线方程为：$y = -\dfrac{1}{2} x + 2$。
当两条曲线相交时，其交点是两条曲线的共同点，其坐标必须同时满足两条曲线的方程。这里，曲线的交点由以下联立方程的解给出：
\begin{aligned} y &= 2x^2 + 2, \\ y &= -\tfrac{1}{2} x + 2 \\ 2x^2 + 2 &= -\tfrac{1}{2} x + 2; \end{aligned}
化简后得：
\[ x(2x + \tfrac{1}{2}) = 0. \]
这个方程的解为 $x = 0$ 和 $x = -\tfrac{1}{4}$。曲线 $y = 2x^2 + 2$ 在任意点的斜率为：
\[ \dfrac{dy}{dx} = 4x. \]
当 $x = 0$ 时, 斜率为0，曲线在此处水平。对于点
\begin{align*} x &= -\dfrac{1}{4},\\ \dfrac{dy}{dx} &= -1; \end{align*}
因此曲线在该点向右下方倾斜，与水平线成 $45°$ 的角度，即 $\tan \theta = 1$。
直线的斜率为 $-\tfrac{1}{2}$;，即它向右下方倾斜，与水平线的夹角 $\phi$ 满足 $\tan \phi = \tfrac{1}{2}$，即角度为 $26° 34'$。因此，在第一个交点处，曲线与直线的夹角为 $26° 34'$，而在第二个交点处，夹角为 $45° - 26° 34' = 18° 26'$。
(5) 画一条直线，该直线通过点 $x = 2$，$y = -1$ 并与曲线 $y = x^2 - 5x + 6$ 相切。求切点的坐标。
切线的斜率必须等于曲线的 $\dfrac{dy}{dx}$，即 $2x - 5$。
直线的方程式为 $y = ax + b$，代入 $x = 2$，$y = -1$，有 $-1 = a×2 + b$，同时，直线的斜率 $\dfrac{dy}{dx} = a = 2x - 5$。
切点 $x$ 和 $y$ 的坐标也必须满足曲线方程和切线方程。
联立方程得到由 $a$、$b$、$x$、$y$ 构成的四个方程：
\begin{align} y &= x^2 - 5x + 6, &\text{i} \\ y &= ax + b, &\text{ii} \\ -1 &= 2a + b, &\text{iii} \\ a &= 2x - 5, &\text{iv} \end{align}
从（i）和（ii）得 $x^2 - 5x + 6 = ax+b$。
将 $a$ 和 $b$ 的值代入，化简得：
\[ x^2 - 5x + 6 = (2x - 5)x - 1 - 2(2x - 5), \]
化简为：$x^2 - 4x + 3 = 0$，解得：$x = 3$ 和 $x = 1$。代入(i)，分别得到 $y = 0$ 和 $y = 2$。因此，两个切点分别为 $x = 1$，$y = 2$ 和 $x = 3$，$y = 0$。
注： 在所有涉及曲线的习题中，通过实际绘制曲线来验证推导结果，是极具意义的。