本章介绍如何使用积分求面积、体积、二次均值等。 ...

本文介绍了积分计算中的多种技巧。首先，通过一个例子展示了变量代换法的应用。接着，介绍了“化简公式”，用于简化某些表达式以便积分，并提到“有理化”和“分母因式分解”是其他有用的技巧。文章还说明了拆分部分分式在积分中的重要性，并举例说明其用法。在陷阱部分，提醒初学者注意常见错误，比如误处理不定式或无效因子。最后，文章强调积分在解决微分方程中的重要性，指出微分方程的解往往转化为优雅且令人惊讶的形式，尽管它看似与原方程无关，就像蝴蝶与毛毛虫的关系一样。 ...

本章介绍多种微分方程的解法，讨论了像正弦和余弦方程、指数解法以及涉及指数增长和衰减的解法。解法方法包括变量分离法、使用积分因子、以及通过变量变换来解方程。内容还探讨了二阶线性方程的一般解法，特别是波的传播方程及其与速度、时间和位置的关系。最后的例子给出了运动方程和波方程的解法。 ...

本书尾声幽默地预期专业数学家会批评这本书为一本过于简化的微积分入门书。作者认为这本书的简单性是故意的，目的是让初学者能够不被不必要的复杂内容困扰，轻松掌握基础。虽然批评者可能会指责书中省略了困难的部分，且没有提供严格的证明，但作者辩护称这种方法有助于初学者学习基本概念，而不至于陷入无关的复杂性。 ...

标准形式表 $\dfrac{dy}{dx}$$y$$\int y\, dx$ 代数 $1$ $x$ $\frac{1}{2} x^2 + C$ $0$ $a$ $ax + C $ $1$ $x ± a$ $\frac{1}{2} x^2 ± ax + C$ $a$ $ax $ $\frac{1}{2} ax^2 + C $ $2x$ $x^2$ $\frac{1}{3} x^3 + C $ $nx^{n-1}$ $x^n$ $ \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C $ $-x^{-2} $ $x^{-1}$ $\log_\epsilon x + C$ $\dfrac{du}{dx} ± \dfrac{dv}{dx} ± \dfrac{dw}{dx}$ $u ± v ± w$ $\int u\, dx ± \int v\, dx ± \int w\, dx$ $u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}$ $uv$ No general form known $\dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}$ $\dfrac{u}{v}$ No general form known $\dfrac{du}{dx}$ $u$ $ux - \int x\, du + C$ 指数与对数函数 $\epsilon^x$ $\epsilon^x$ $\epsilon^x + C$ $x^{-1}$ $\log_\epsilon x$ $ x(\log_\epsilon x - 1) + C$ $0.4343 × x^{-1}$ $\log_{10} x$ $0.4343x (\log_\epsilon x - 1) + C$ $a^x \log_\epsilon a$ $a^x$ $\dfrac{a^x}{\log_\epsilon a} + C$ 三角函数 $\cos x$ $\sin x$ $-\cos x + C $ $-\sin x$ $\cos x$ $\sin x + C $ $\sec^2 x$ $\tan x$ $-\log_\epsilon \cos x + C $ 圆形（反函数） $\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$ $\arcsin x$ $x · \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$ $-\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$ $\arccos x$ $x · \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$ $\dfrac{1}{1+x^2}$ $\arctan x$ $x · \arctan x - \frac{1}{2} \log_\epsilon (1 + x^2) + C$ 双曲函数 $\cosh x $ $\sinh x$ $\cosh x + C$ $\sinh x $ $\cosh x$ $\sinh x + C$ $\text{sech}^2 x $ $\tanh x$ $\log_\epsilon \cosh x + C $ 其他 $-\dfrac{1}{(x + a)^2}$ $\dfrac{1}{x + a}$ $ \log_\epsilon (x+a) + C $ $-\dfrac{x}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$ $\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ $\log_\epsilon (x + \sqrt{a^2 + x^2}) + C $ $\mp \dfrac{b}{(a ± bx)^2}$ $\dfrac{1}{a ± bx}$ $± \dfrac{1}{b} \log_\epsilon (a ± bx) + C $ $-\dfrac{3a^2x}{(a^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}}$ $\dfrac{a^2}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$ $\dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} + C $ $ a · \cos ax$ $\sin ax$ $-\dfrac{1}{a} \cos ax + C $ $-a · \sin ax$ $\cos ax$ $ \dfrac{1}{a} \sin ax + C $ $ a · \sec^2ax$ $\tan ax$ $-\dfrac{1}{a} \log_\epsilon \cos ax + C $ $ \sin 2x$ $\sin^2 x$ $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C $ $-\sin 2x$ $\cos^2 x$ $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C $ $n · \sin^{n-1} x · \cos x$ $ \sin^n x$ $-\frac{\cos x}{n} \sin^{n-1} x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x\, dx + C$ $-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$ $\dfrac{1}{\sin x}$ $\log_\epsilon \tan \dfrac{x}{2} + C$ $-\dfrac{\sin 2x}{\sin^4 x}$ $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ $ -\text{cotan} x + C$ $\dfrac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x · \cos^2 x}$ $ \dfrac{1}{\sin x · \cos x}$ $ \log_\epsilon \tan x + C $ $n · \sin mx · \cos nx + m · \sin nx · \cos mx $ $\sin mx · \sin nx$ $\frac{1}{2} \cos(m - n)x - \frac{1}{2} \cos(m + n)x + C$ $ 2a·\sin 2ax$ $\sin^2 ax$ $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2ax}{4a} + C $ $-2a·\sin 2ax$ $\cos^2 ax$ $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2ax}{4a} + C $ « 上一章 目录

简易微积分 西尔维纳斯.P.汤普森 著 Victor 编译 一个傻瓜能做的事，另一个也能做 目录 前言 第 1 章 摆脱恐惧 第 2 章 不同程度的微小性 第 3 章 相对增长 第 4 章 最简单的情况 第 5 章 下一步，如何处理常数 第 6 章 和、差、积与商的微分 第 7 章 连续求导 第 8 章 当时间变化时 第 9 章 介绍一种实用的技巧 第 10 章 微分几何意义 第 11 章 极大值和极小值 第 12 章 曲线的曲率 第 13 章 其他有用的技巧 第 14 章 (a) 复利与有机增长定律 第 14 章 (b) 衰减曲线 第 15 章 如何处理正弦和余弦 第 16 章 偏微分 ...