第 10 章 微分几何意义 考虑微分系数的几何意义是很有用的。 首先，任何关于 $x$ 的函数，例如 $x^2$、$\sqrt{x}$ 或 $ax+b$，都可以绘制成曲线。如今，每个学生都熟悉绘制曲线的过程。 设 图7 中的 $PQR$ 是一个关于坐标轴 $OX$ 和 $OY$ 的曲线的一部分。考虑曲线上任意一点 $Q$，该点的横坐标为 $x$，纵坐标为 $y$。现在观察当 $x$ 发生变化时，$y$ 的变化情况。如果将 $x$ 向右增加一个小增量 $dx$，可以观察到 $y$ 也会增加一个小增量 $dy$（因为这条曲线是上升的曲线）。此时，增量比 $\dfrac{dy}{dx}$ 测量了曲线在两点 $Q$ 和 $T$ 之间的斜率。然而，由于曲线 $Q$ 和 $T$ 之间存在多种不同斜率，因此我们不能简单地定义“曲线在 $Q$ 和 $T$ 之间的斜率”。但如果点 $Q$ 和 $T$ 非常接近，以至于曲线 $QT$ 的小段几乎呈直线，那么可以认为 $\dfrac{dy}{dx}$ 是曲线在 $QT$ 段的斜率。延长这段小直线 $QT$，它只会触及曲线的 $QT$ 部分。如果 $QT$ 无限短，则直线几乎只会在一点上与曲线相切，因此称该直线为曲线在该点的切线。 显然，这条切线与 $QT$ 具有相同的斜率，因此 $\dfrac{dy}{dx}$ 就是曲线在点 $Q$ 处切线的斜率。 “曲线的斜率”这种简短的说法本身意义不明确，因为曲线有无数斜率——每一小段曲线都有不同的斜率。然而，“曲线在某点的斜率”是一个精确定义的概念，它表示曲线在该点附近的一小段的斜率，或者说是“曲线在该点的切线的斜率”。 ...

第 11 章 极大值和极小值 微分过程的主要用途之一是确定在什么条件下，被微分的量的值会达到最大值或最小值。这在工程问题中往往至关重要，因为在这些问题中，了解什么条件可以使工作成本最小化或效率最大化是非常有价值的。 现在，让我们从一个具体的例子开始，考虑以下方程： \[ y = x^2 - 4x + 7. \] 给 $x$ 指定一系列连续的值，并找到对应的 $y$ 值，我们可以很容易地看出该方程表示一条具有最小值的曲线。 $x$ $ 0$ $ 1 $ $2 $ $3 $ $4$ $ 5$ $y$ $ 7$ $ 4 $ $3 $ $4 $ $7$ $ 12$ 这些值绘制在图26中，该图显示 $y$ 在 $x$ 等于 $2$ 时显然有一个最小值 $3$。但是你确定最小值出现在 $2$ 吗？而不是 $x = \tfrac{1}{4}$ 或 $x = 1 \tfrac{3}{4}$? 当然，对于任何代数表达式，可以计算许多值，逐渐找到可能的最大值或最小值的具体值。 以下是另一个例子： 设 $y = 3x - x^2$。 ...

对于给定的二次函数，通过一阶导数找到临界点，二阶导数判断是极大值还是极小值。二阶导数为正时是极小值，为负时是极大值。 ...

本文讨论了将分式分解为部分分式的技巧，特别是涉及幂因式和多项式因式的复杂分母的情况。主要内容包括： 当分母中有二次因式时，分子可能需要包含线性项，而不仅仅是常数项。 2.利用方程和代入法求解部分分式系数的策略。 对于分母中存在重复因式的情况，解释了如何为每个幂次因式添加对应的项。 介绍了一种快速代换方法，用于简化单一因式幂的分式。 部分分式在微分中的应用，展示了分解如何简化计算过程。 强调验证结果的重要性，说明部分分式分解确保等价表达式，并简化微分和积分操作。 ...

本文讲解了对数和指数函数的求导方法。首先介绍了包含线性项的自然对数的求导过程，然后通过常数因子将十进制对数转换为自然对数来求导。接着，通过将指数函数用自然对数表示，系统推导出其导数。最后强调了对数与指数之间的联系，它们的导数在定义中存在内在的关联性。 ...

本文提供了多个示例，展示了“衰减因子”概念如何应用于各种物理现象，包括热体冷却、电流衰减、光强度减弱和放射性物质衰变。这些示例说明了指数衰减模型如何应用于现实过程，并且时间常数在确定衰减速率中起着关键作用。 ...

第 15 章 如何处理正弦和余弦 希腊字母通常用来表示角度，我们将用字母 $\theta$ (“theta”) 来表示任何可变角度。 我们来研究函数： \[ y= \sin \theta. \] 我们需要研究的是 $\dfrac{d(\sin \theta)}{d \theta}$ 的值；换句话说，当角度 $\theta$ 变化时，我们需要找到正弦增量和角度增量之间的关系，两个增量本身都可以看作无限小。请参考图 43，如果圆的半径为 1，那么 $y$ 的高度就是正弦值，而 $\theta$ 是角度。如果假设 $\theta$ 增加了一个小角度 $d \theta$，即一个角元素，那么 $y$ 的高度（即正弦值）将增加一个小元素 $dy$。新高度 $y + dy$ 是新角度 $\theta + d \theta$ 的正弦值，用方程表示为： \[ y+dy = \sin(\theta + d \theta); \] 从中减去第一个方程可以得到： \[ dy = \sin(\theta + d \theta)- \sin \theta. \] 右边的量是两个正弦值之差，而三角学的书告诉我们如何处理这个问题。根据三角公式，对于任意两角 $M$ 和 $N$，有： \[ \sin M - \sin N = 2 \cos\frac{M+N}{2}·\sin\frac{M-N}{2}. \] ...

两个独立变量函数的极值问题 ...

本文讲解了如何通过斜率来理解和重建曲线。首先从恒定斜率的直线入手，说明直线的位置取决于一个未定常数。接着讨论斜率随 x 值变化的复杂情况，展示了通过累加小段近似重建曲线的方法。最后指出，积分可以通过累加无限小的变化精确重建曲线，并且需要一个未定常数来表示曲线的初始高度。 ...

双重积分和三重积分用于对含有两个或三个变量的函数进行积分。双重积分的积分顺序无关紧要，结果相同，常用于通过对区域积分计算曲面的面积。三重积分则用于对立体的体积进行求和，覆盖由三个变量定义的空间。积分需要根据区域或体积的边界设置适当的积分限。这些积分在多维空间中帮助计算面积和体积等属性。 ...