简易微积分: 最简单的情况｜优克

现在，我们从最基本的原则出发，来看一下如何对一些简单的代数表达式求导。

情况 1

先从一个简单的表达式 \(y=x^2\) 开始。请记住，微积分的基本概念是增长的概念。数学家称之为变化。既然 \(y\) 和 \(x^2\) 相等，很明显，如果 \(x\) 增长，\(x^2\) 也会增长。而如果 \(x^2\) 增长，那么 \(y\) 也会增长。我们需要找出的是 \(y\) 的增长和 \(x\) 的增长之间的比例。换句话说，我们的任务是找出 \(dy\) 和 \(dx\) 之间的比率，或者简而言之，求出 \(\dfrac{dy}{dx}\) 的值。

让 \(x\) 增加一点变为 \(x + dx\)；相应地，\(y\) 也会增加一点，变为 \(y + dy\)。那么，增大的 \(y\) 将等于增大的 \(x\) 的平方，这显然是成立的。写下这个关系，我们有：

\[ y + dy = (x + dx)^2. \]

展开平方，我们得到：

\[ y + dy = x^2 + 2x · dx+(dx)^2. \]

\((dx)^2\) 的意义是什么？请记住，\(dx\) 代表 \(x\) 的一小部分。那么 \((dx)^2\) 就意味着 \(x\) 的微小部分的微小部分；即如前面所解释的那样（参见第2章），它是第二阶微小的量。因此，与其他项相比，可以被忽略不计。将它舍去，我们就得到：

\[ y + dy = x^2 + 2x · dx. \]

现在 \(y=x^2\)，从原方程中减去，剩下：

\[ dy = 2x · dx. \]

两边都除以 \(dx\)，我们得到：

\[ \frac{dy}{dx} = 2x. \]

这就是我们要找的答案。在此例中，\(y\) 的增长与 \(x\) 的增长之比是 \(2x\)。

注：这个比率 \(\dfrac{dy}{dx}\) 是 \(y\) 关于 \(x\) 的求导结果。求导就是找出微分系数即导数。假设有另一个 \(x\) 的函数，例如 \(u = 7x^2 + 3\)。如果我们要求它关于 \(x\) 导数，就是求解 \(\dfrac{du}{dx}\)，或等价于求 \(\dfrac{d(7x^2 + 3)}{dx}\)。另一方面，我们可能遇到一个独立变量是时间的情况（参加第3章），例如：\(y = b + \frac{1}{2} at^2\)。那么，对该函数的求导就是必须找到它关于 \(t\) 的导数。因此，我们的任务就是求 \(\dfrac{dy}{dt}\)，即求 \(\dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt}\)。

数值示例

假设 \(x=100\)，\(y=10,000\)。然后让 \(x\) 增长到 \(101\)（即让 \(dx=1\)）。那么增大的 \(y\) 将是 \(101 \times 101 = 10,201\)。但是如果我们同意可以忽略二阶小量，则可以舍去 \(1\)，因为它相对于 \(10,000\) 是微不足道的；因此可以将增大的 \(y\) 取为 \(10,200\)。\(y\) 从 \(10,000\) 增长到 \(10,200\)；增加的部分是 \(dy\)，即 \(200\)。

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200 \]

根据前述的代数操作，我们得到 \(\dfrac{dy}{dx} = 2x\)。确实如此，因为 \(x=100\) 且 \(2x=200\)。

你可能会说，我们忽略了一个完整的单位。

好，再试一次，让 \(dx\) 取更小的量。

试试 \(dx=\frac{1}{10}\)。那么 \(x+dx=100.1\)，并且

\[ (x+dx)^2 = 100.1 × 100.1 = 10,020.01. \]

现在最后一位数字 \(1\) 只是 \(10,000\) 的百万分之一，非常微小，可以忽略不计；所以我们可以取 \(10,020\) 而忽略末尾的小数。这样得到 \(dy=20\)，并且 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200\)，仍然与 \(2x\) 相同。

情况 2

试着以同样的方式求 \(y = x^3\) 的导数。

让 \(y\) 增长到 \(y+dy\)，同时 \(x\) 增长到 \(x+dx\)。

那么有

\[ y + dy = (x + dx)^3. \]

展开立方得到：

\[ y + dy = x^3 + 3x^2 · dx + 3x(dx)^2+(dx)^3. \]

现在我们知道可以忽略二阶和三阶的微小量，因为当 \(dy\) 和 \(dx\) 都趋于无限小的时候，\((dx)^2\) 和 \((dx)^3\) 相比之下会变得更小。因此，将它们视为可忽略不计，剩下：

\[ y + dy=x^3+3x^2 · dx. \]

由于 \(y = x^3\)，减去这一项，得到：

\begin{align*} dy &= 3x^2 · dx, \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align*}

情况 3

试着求 \(y = x^4\) 的导数。像之前一样，让 \(y\) 和 \(x\) 都增长一些，得到：

\[ y + dy = (x+dx)^4. \]

计算出四次方，得到：

\[ y + dy = x^4 + 4x^3 dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4. \]

然后，将所有包含更高次幂 \(dx\) 的项去掉，因为它们相比之下可以忽略不计，得到：

\[ y + dy = x^4+4x^3 dx. \]

减去原始的 \(y = x^4\)，剩下：

\begin{align*} dy &= 4x^3\, dx, \\ \frac{dy}{dx} &= 4x^3. \end{align*}

现在，所有这些情况都相当简单。我们把结果整理出来，看能否推导出一般规则。将它们放入两列中，一列是 \(y\) 的值，另一列是相应的 \(\dfrac{dy}{dx}\) 值，如下所示：

\(y\)	\(\frac{dy}{dx}\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^4\)	\(4x^3\)

只需看看这些结果：求导操作似乎使 \(x\) 的幂次减少了 \(1\)（例如在最后一个例子中，将 \(x^4\) 减少到 \(x^3\)），同时乘以一个数（实际上就是最初作为幂次出现的那个数）。现在，一旦你看到这一点，可能很容易猜测其他情况的结果。例如，你会期望对 \(x^5\) 求导得到 \(5x^4\)，或者对 \(x^6\) 求导得到 \(6x^5\)。如果你犹豫了，可以试试其中一个，看看推测是否正确。

试试 \(y = x^5\)。

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &\phantom{{}= x^5 + 5x^4\, dx} + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align*}

忽略所有包含更高次小量的项，剩下：

\[ y + dy = x^5 + 5x^4 dx \]

然后减去

\[ y = x^5 \]

剩下

\[ dy = 5x^4 dx \]

因此

\[ \frac{dy}{dx} = 5x^4 \]

正如我们所预想的那样。

根据我们的观察逻辑推论可以得出，如果想处理任何更高次幂——称其为 \(n\)——可以用相同的方法处理。

令 \(y = x^n\)

那么，应该可以得到：

\[ \frac{dy}{dx} = nx^{(n-1)} \]

例如，令 \(n=8\)，则 \(y=x^8\)；求导的结果将是 \(\dfrac{dy}{dx} = 8x^7\)。

对 \(x^n\) 求导得到的结果为 \(nx^{n-1}\)，这一规则实际上适用于所有 \(n\) 为正整数的情况。[通过展开 \((x + dx)^n\) 的二项式定理，可以立即验证这一点。]但当 \(n\) 为负数或分数时，这一结论是否成立还需要进一步探讨。

负幂的情况

令 \(y = x^{-2}\)然后按之前的步骤进行：

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align*}

通过二项式定理展开，得到：

\begin{align*} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1×2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \text{etc.}\right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} · dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \ldots \\ \end{align*}

忽略高次微量项，得到：

\[ y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} · dx. \]

减去原来的 \(y = x^{-2}\)，得到：

\begin{align*} dy &= -2x^{-3}dx, \\ \frac{dy}{dx} &= -2x^{-3}. \end{align*}

这仍然符合上面推导的规则。

分数幂的情况

令 \(y = x^{\frac{1}{2}}\)。然后，像之前一样，

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{dx}{x} )^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} + \text{} \end{align*}

减去原始的 \(y = x^{\frac{1}{2}}\)，并忽略高次项，得到：

\[ dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} · dx, \]

所以

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \]

这也符合一般规则。

总结

看看我们取得了多大进展。我们已经得出以下规则：对 \(x^n\) 求导，乘以它的幂次，然后幂次减一，得到 \(nx^{n-1}\) 作为结果。