简易微积分: 下一步，如何处理常数｜优克

在我们的方程中，我们认为 $x$ 是增长的，由于 $x$ 增长，$y$ 也随之改变其值并增长。我们通常认为 $x$ 是一个可以改变的量，并且将 $x$ 的变化视为一种原因，把引起的 $y$ 的变化视为一种结果。换句话说，我们认为 $y$ 的值依赖于 $x$ 的值。$x$ 和 $y$ 都是变量，但 $x$ 是我们操控的变量，而 $y$ 是“依赖变量”。在前一章中，我们一直在寻找依赖变量 $y$ 的变化与我们独立改变的 $x$ 的变化之间的比例关系规则。

我们的下一步是弄清楚在微分过程中，由常数（即在 $x$ 或 $y$ 变化时不会改变的数字）的存在引起的影响。

增加的常数。

让我们从一个包含常数的简单例子开始，如下：

令

\[ y=x^3+5. \]

和以前一样，假设 $x$ 增加到 $x + dx$，而 $y$ 增加到 $y + dy$。

则：

\begin{align*} y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align*}

忽略高阶小量，这变成

\[ y + dy = x^3 + 3x^2·dx + 5 \]

减去原来的 $y = x^3 + 5$，我们得到：

\begin{align*} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align*}

所以 $5$ 完全消失了。它对 $x$ 的增长没有任何贡献，并未进入微分系数。如果我们将 $5$ 换成 $7$、$700$ 或任何其他数字，它也会消失。因此，如果我们用字母 $a$、$b$ 或 $c$ 表示任意常数，它们在我们微分时也会消失。

如果附加常数是负值，比如 $-5$ 或 $-b$，它同样会消失。

乘常数

我们用一个简单的例子进行实验：

设 $y = 7x^2$。然后按照之前的方法，我们得到：

\begin{align*} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\{x^2 + 2x·dx + (dx)^2\} \\ &= 7x^2 + 14x·dx + 7(dx)^2. \\ \end{align*}

然后，减去原来的 $y = 7x^2$，并忽略最后一项，我们得到：

\begin{align*} dy &= 14x·dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align*}

让我们通过给 $x$ 一组连续的值 $0$、$1$、$2$、$3$ 等，并找到对应的 $y$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$ 值，来绘制方程 $y = 7x^2$ 和 $\dfrac{dy}{dx} = 14x$ 的图像。

这些值如下表所示：

$x$	$0$	$1$	$2$	$3 $	$4$	$5$	$-1$	$-2$	$-3$
$y$	$0$	$7$	$28$	$63$	$112$	$175$	$7$	$28$	$63$
$\dfrac{dy}{dx}$	$0$	$14$	$28$	$42$	$56$	$70$	$-14$	$ -28$	$ -42$

现在按合适的比例绘制这些值，我们得到两条曲线图6和图6a。

仔细比较这两个图，可以通过观察验证导出曲线图6a的纵坐标高度与原曲线图6在对应 $x$ 值处的斜率成比例。在原曲线的起点左侧，其斜率为负（即从左到右向下倾斜），导出曲线的对应纵坐标也为负。

现在如果回顾此处，我们会看到直接对 $x^2$ 求导得到 $2x$。因此，$7x^2$ 的微分系数只是 $x^2$ 的微分系数的 $7$ 倍。如果取 $8x^2$，则其微分系数将是 $x^2$ 的微分系数的八倍。如果令 $y = ax^2$，则我们将得到

\[ \frac{dy}{dx} = a × 2x. \]

如果我们从 $y = ax^n$ 开始，将得到 $\dfrac{dy}{dx} = a×nx^{n-1}$。因此，被乘的常数，在微分时都会重新以乘数出现。同样，对于除法也是如此：例如，如果我们将上例中的常数取为 $\frac{1}{7}$ 而不是 $7$，那么微分结果中将会出现相同的 $\frac{1}{7}$。

一些进一步的例子

以下进一步的例子，通过完整的计算过程，可以帮助你完全掌握微分应用于普通代数表达式的过程，并能够自行完成本章末的练习。

(1) 对 $y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}$ 求导。

$\dfrac{3}{5}$ 是添加的常数，因此消失（参见此处）。

于是我们可以直接写出

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{7} × 5 × x^{5-1} \\ &= \frac{5}{7} x^4. \end{align*}

(2) 对 $y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}$ 求导。

项 $\dfrac{1}{2}\sqrt{a}$ 消失,因为它是添加的常数；而 $a\sqrt{x}$ 用指数形式表示为 $ax^{\frac{1}{2}}$，因此我们有

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= a × \frac{1}{2} × x^{\frac{1}{2}-1} \\ &= \frac{a}{2} × x^{-\frac{1}{2}}, \\ &= \frac{a}{2\sqrt{x}}. \end{align*}

(3) 如果 $ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2}$，求 $y$ 关于 $x$ 的微分系数。

通常，这种表达式需要比我们目前所掌握的知识更多的技巧；不过，值得一试是否能将表达式简化。

首先，我们要尝试将其化为 $y = {}$ 仅包含 $x$ 的表达式。

该表达式可以写为

\[ (a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}. \]

平方后得到

\[ (a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2), \]

简化为

\begin{align*} (a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 &= x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2); \\ [(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 &= [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2, \\ 2b(b-a)y^2 &= -2b(b+a)x^2; \end{align*}

因此,

\begin{align*} y &= \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \\ \frac{dy}{dx} &= \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}. \end{align*}

(4) 半径 $r$ 和高度 $h$ 的圆柱体体积由公式 $V = \pi r^2 h$ 给出。求当 $r = 5.5$ 厘米，$h = 20$ 厘米时，半径对体积的变化率。如果 $r = h$，求半径变化 $1$ 厘米导致体积变化 $400$ 立方厘米时，圆柱体的尺寸

$V$ 关于 $r$ 的变化率为

\[ \frac{dV}{dr} = 2 \pi r h. \]

当 $r = 5.5$ 厘米，$h=20$ 厘米时，该值为 $690.8$。这意味着半径变化 $1$ 厘米将导致体积变化 $690.8$ 立方厘米。这可以通过计算验证，因为当 $r = 5$ 和 $r = 6$ 时的体积分别为 $1570$ 立方厘米和 $2260.8$ 立方厘米，而 $2260.8 - 1570 = 690.8$。

此外，如果

\begin{align*} r &= h \\ \dfrac{dV}{dr} &= 2\pi r^2 = 400 \\ r &= h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} = 7.98 \text{厘米}. \end{align*}

(5) 辐射高温计的读数 $\theta$ 与被观测物体的摄氏温度 $t$ 之间的关系为

\[ \dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{t}{t_1}\right)^4, \]

其中，$\theta_1$ 是对应已知温度 $t_1$ 的读数。

比较温度为 $800°$C、$1000°$C、$1200°$C 时的高温计灵敏度，已知在温度 $1000°$C 时读数为 $25$。

灵敏度是读数对温度的变化率，即 $\dfrac{d\theta}{dt}$。该公式可写为

\[ \theta = \dfrac{\theta_1}{t_1^4} t^4 = \dfrac{25t^4}{1000^4}, \]

我们有

\[ \dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{100t^3}{1000^4} = \dfrac{t^3}{10,000,000,000}. \]

当 $t=800$、$1000$ 和 $1200$ 时，$\dfrac{d\theta}{dt} = 0.0512$、$0.1$ 和 $0.1728$。

灵敏度从 $800°$ 到 $1000°$ 约增加一倍，到 $1200°$ 时又增加了四分之三。

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3 \)	\(4\)	\(5\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-3\)
\(y\)	\(0\)	\(7\)	\(28\)	\(63\)	\(112\)	\(175\)	\(7\)	\(28\)	\(63\)
\(\dfrac{dy}{dx}\)	\(0\)	\(14\)	\(28\)	\(42\)	\(56\)	\(70\)	\(-14\)	$ -28$	$ -42$

第 5 章下一步，如何处理常数