本章介绍多种微分方程的解法，讨论了像正弦和余弦方程、指数解法以及涉及指数增长和衰减的解法。解法方法包括变量分离法、使用积分因子、以及通过变量变换来解方程。内容还探讨了二阶线性方程的一般解法，特别是波的传播方程及其与速度、时间和位置的关系。最后的例子给出了运动方程和波方程的解法。
在本章中，我们将着手寻找一些重要的微分方程的解，并使用前几章中展示的方法。
初学者现在知道了这些方法本身是多么简单，但在这里将开始意识到积分是一门艺术。正如在所有艺术中一样，在积分这门艺术中，熟练度只能通过勤奋和规律的练习获得。想要达到这种熟练程度的人必须做大量的例题，而且是更多的例题，正如在所有关于微积分的标准教材中能丰富地找到的那样。我们的目标是为严肃的工作提供最简短的入门。
例(1)
求解微分方程
\[
ay + b \frac{dy}{dx} = 0.
\]
移项后得：
\[
b \frac{dy}{dx} = -ay.
\]
从这个关系简单观察即可看出，我们遇到了一个 \(\dfrac{dy}{dx}\) 与 \(y\) 成比例的情况。如果我们思考表示 \(y\) 作为 \(x\) 的函数的曲线，那么它的斜率在任何一点上都与该点的纵坐标成比例；如果 \(y\) 为正，则斜率为负。因此显然，这条曲线是一个衰减曲线，其解将包含因子 \(\epsilon^{-x}\)。但在不依赖于这一点直觉的前提下，我们还是继续按照步骤进行求解。
由于 \(y\) 和 \(dy\) 同时出现在方程中且位于方程的两侧，我们无法继续，除非将 \(y\) 和 \(dy\) 分到一侧，将 \(dx\) 分到另一侧。为此，必须将通常密不可分的 \(dy\) 和 \(dx\) 分开。
\[
\frac{dy}{y} = - \frac{a}{b} dx.
\]
完成分离后，现在我们可以看到两边的形式已经变得可以积分了，因为我们认出 \(\dfrac{dy}{y}\) 或 \(\dfrac{1}{y}，dy\) 是在(这里)微分对数时遇到过的形式。所以可以立刻写出积分的指令：
\[
\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{a}{b} dx;
\]
执行这两个积分后，我们得到：
\[
\log_\epsilon y = -\frac{a}{b} x + \log_\epsilon C
\]
其中 \(\log_\epsilon C\) 是尚未确定的积分常数 [^1]。然后，通过反对数运算，我们得到：
\[
y = C \epsilon^{-\frac{a}{b} x}
\]
这就是所需的解。现在，这个解看起来与最初的微分方程完全不同；但对于熟练的数学家而言，它们都传达了相同的信息，表明 \(y\) 如何依赖于 \(x\)。
[^1] 我们可以采用任何形式的常数作为“积分常数”，这里优先选择 \(\log_\epsilon C\)，因为该方程中的其他项是或被视为对数形式；如果添加的常数是相同种类的形式，可以避免后续的复杂性。
现在，对于 \(C\) 来说，它的意义取决于 \(y\) 的初始值。如果令 \(x = 0\) 以查看此时 \(y\) 的值，则有 \(y = C \epsilon^{-0}\)；由于 \(\epsilon^{-0} = 1\)，我们得知 \(C\) 就是 \(y\) 的起始特定值 [^2]。我们可以称其为 \(y_0\)，因此将解写为：
\[
y = y_0 \epsilon^{-\frac{a}{b} x}
\]
[^2] 比较这里关于“积分常数”的描述和图48、图51的解释。
例(2)
让我们以如下微分方程为例求解：
\[
ay + b \frac{dy}{dx} = g
\]
其中 \(g\) 是常数。通过观察该方程，可以推测：(1) 在解中 \(\epsilon^x\) 可能会出现；(2) 如果曲线的某点 \(y\) 是极大值或极小值，即 \(\dfrac{dy}{dx} = 0\)，那么 \(y\) 的值将为 \(\dfrac{g}{a}\)。但是，让我们像之前那样开始求解，分离微分项并尝试将方程转化为某种可积分的形式。
\begin{align*}
b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\
\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx.
\end{align*}
到目前为止，我们已经尽力将 \(y\) 和 \(dy\) 移到一侧，而将 \(dx\) 移到另一侧。但左侧的结果是否可积分呢？
它与这里的结果形式相同。因此，写下积分指令：
\[
\int{\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}}} = - \int{\frac{a}{b} dx};
\]
执行积分后，添加适当的常数：
\begin{align*}
\log_\epsilon\left(y-\frac{g}{a}\right) &= -\frac{a}{b}x + \log_\epsilon C; \\
y-\frac{g}{a} &= C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}; \\
y &= \frac{g}{a} + C\epsilon^{-\frac{a}{b}x},
\end{align*}
这就是解。
如果规定条件为 \(x = 0\) 时 \(y = 0\)，我们可以求出 \(C\) 的值；因为此时指数项 \(\epsilon^{-\frac{a}{b}x} = 1\)，所以：
\begin{align*}
0 &= \frac{g}{a} + C, \\
C &= -\frac{g}{a}
\end{align*}
将 \(C\) 的值代入，解变为：
\[
y = \frac{g}{a} (1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x})
\]
进一步分析，如果 \(x\) 趋于无穷大，\(y\) 将趋于一个极大值；因为当 \(x = \infty\) 时，指数项 \(\epsilon^{-\frac{a}{b}x} = 0\)，得到：\(y_{\text{max}} = \dfrac{g}{a}\)。代入后得到最终解
\[
y = y_{\text{max}}(1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x})
\]
这一结果在物理科学中也具有重要意义。
例(3)
设
\[
ay+b\frac{dy}{dt} = g · \sin 2\pi nt
\]
我们会发现，这个方程比前面的例子难处理得多。首先，对方程的两边同时除以 \(b\)：
\[
\frac{dy}{dt} + \frac{a}{b}y = \frac{g}{b} \sin 2\pi nt.
\]
此时，左侧并不具有可积分性。然而，通过一个技巧（此处需要技巧和实践来提出解决方案），可以使其变得可积分：将所有项乘以 \(\epsilon^{\frac{a}{b} t}\)，得到：
\[
\frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + \frac{a}{b} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi nt,
\]
即：
\[
\frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \frac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi nt;
\]
由于这是一组完全微分，因此可以直接积分。设
\begin{align*}
u &= y\epsilon^{\frac{a}{b} t} \\
\dfrac{du}{dt} &= \dfrac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \dfrac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt}
\end{align*}
\begin{align*}
y \epsilon^{\frac{a}{b} t}
&= \frac{g}{b} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi nt · dt + C, \\
y &= \frac{g}{b} \epsilon^{-\frac{a}{b} t}
\int \epsilon^{ \frac{a}{b} t} · \sin 2\pi nt · dt
+ C\epsilon^{-\frac{a}{b} t}.
\tag*{[A]}
\end{align*}
最后一项显然会随着 \(t\) 的增大而逐渐衰减，因此可以忽略。现在的问题是如何求出作为系数的积分。为了解决这个问题，我们使用分部积分法（见这里）。设：
\begin{align*}
&\left\{
\begin{aligned}
u &= \epsilon^{\frac{a}{b} t}; \\
dv &= \sin 2\pi nt · dt.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
则有：
\begin{align*}
&\left\{
\begin{aligned}
du &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} × \frac{a}{b}\, dt; \\
v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos 2\pi nt.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
代入后，所需的积分变为：
\begin{align*}
\int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} · \sin 2 \pi n t · dt \\
&= -\frac{1}{2 \pi n} · \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \cos 2 \pi nt
-\int -\frac{1}{2\pi n} \cos 2 \pi nt · \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \frac{a}{b}\, dt \\
&= -\frac{1}{2 \pi n} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cos 2 \pi nt
+\frac{a}{2 \pi nb} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \cos 2 \pi nt · dt.
\tag*{[B]}
\end{align*}
最后的积分仍无法直接求解。为此，我们对其进行分部积分，反向处理，设：
\begin{align*}
&\left\{
\begin{aligned}
u &= \sin 2 \pi n t ; \\
dv &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} · dt;
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
由此得：
\begin{align*}
&\left\{
\begin{aligned}
du &= 2 \pi n · \cos 2 \pi n t · dt; \\
v &= \frac{b}{a} \epsilon ^{\frac{a}{b} t}
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
代入后，得到：
\begin{align*}
\int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} · \sin 2 \pi n t · dt\\
&= \frac{b}{a} · \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi n t -
\frac{2 \pi n b}{a} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \cos 2 \pi n t · dt. \tag*{[C]}
\end{align*}
注意到[C]中的不可解积分与[B]中的相同，通过将[B]乘以 \(\dfrac{2\pi nb}{a}\)，将[C]乘以 \(\dfrac{a}{2\pi nb}\)，然后相加，可以消去积分项。
整理后，结果为：
\begin{align*}
\int \epsilon^{\frac{a}{b} t} · \sin 2 \pi n t · dt
&= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab · \sin 2 \pi nt - 2 \pi n b^2 · \cos 2 \pi n t}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\}
\tag*{[D]} &\\
\end{align*}
将其代入[A]，得：
\begin{align*}
y &= g \left\{\frac{ a · \sin 2 \pi n t - 2 \pi n b · \cos 2 \pi nt}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. &
\end{align*}
为了进一步简化，设某角度 \(\phi\) 使得 \(\tan\phi = \dfrac{2\pi nb}{a}\)。则：
\[
\sin \phi = \frac{2 \pi nb}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}},
\]
且
\[
\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}. \\
\]
代入后，解可写为：
\[
y = g \frac{\cos \phi · \sin 2 \pi nt
- \sin \phi · \cos 2 \pi nt}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \\
\]
即：
\[
y = g \frac{\sin(2 \pi nt - \phi)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}},
\]
这就是所需的解。
这个结果实际上就是交流电的方程，其中 \(g\) 代表电动势的幅值，\(n\) 是频率，\(a\) 是电阻，\(b\) 是电路的自感系数，\(\phi\) 是滞后角。
例(4)
假设 \(M\, dx + N\, dy = 0.\)
如果 \(M\) 仅是 \(x\) 的函数，\(N\) 仅是 \(y\) 的函数，那么我们可以直接对这个表达式进行积分。然而，如果 \(M\) 和 \(N\) 都是同时依赖于 \(x\) 和 \(y\) 的函数，该如何积分呢？此表达式本身是否为一个完全微分？也就是说，\(M\) 和 \(N\) 是否可以通过某个公共函数 \(U\) 的偏微分得到？如果可以，则有：
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial U}{\partial x} = M, \\
\frac{\partial U}{\partial y} = N.
\end{aligned}
\right.
\]
如果这样的公共函数存在，则
\[
\frac{\partial U}{\partial x}\, dx + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy
\]
即为一个完全微分。
验证的方法如下。如果该表达式是完全微分，则必有：
\begin{align*}
\frac{dM}{dy} &= \frac{dN}{dx}; \\
\frac{d(dU)}{dx\, dy} &= \frac{d(dU)}{dy\, dx},\\
\end{align*}
这在数学上必然成立。
以如下方程为例：
\[
(1 + 3 xy)\, dx + x^2\, dy = 0.
\]
该表达式是否为完全微分？我们应用上述测试方法。
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d(1 + 3xy)}{dy}=3x, \\
\dfrac{d(x^2)}{dx} = 2x,
\end{aligned}
\right.
\]
显然不相等。因此，这不是一个完全微分，\(1 + 3xy\) 和 \(x^2\) 不是来源于同一个公共函数。
在这种情况下，可以尝试找到一个积分因子，即一个因子，使得将两边同时乘以该因子后，表达式变为完全微分。没有固定的规则来确定积分因子，但经验通常能给出提示。在这个例子中，\(2x\) 可以作为积分因子。将两边同时乘以 \(2x\)，得到：
\[
(2x + 6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy = 0.
\]
现在再次进行测试：
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d(2x + 6x^2y)}{dy}=6x^2, \\
\dfrac{d(2x^3)}{dx} = 6x^2,
\end{aligned}
\right.
\]
两者相等，因此这是一个完全微分，且可以积分。令 \(w = 2x^3y\)，则有：
\[
dw=6x^2y\, dx + 2x^3\, dy.
\]
因此，
\[
\int 6x^2y\, dx + \int 2x^3\, dy=w=2x^3y;
\]
因此，得到：
\[
U = x^2 + 2x^3y + C.
\]
例(5)
\[
\dfrac{d^2 y}{dt^2} + n^2 y = 0
\]
在此，我们有一个二阶微分方程，其中 \(y\) 既以自身形式出现，也以二阶微分系数形式出现。
将方程变形得：
\[
\dfrac{d^2 y}{dt^2} = - n^2 y
\]
从中可以看出，我们需要处理的是一种函数，其二阶导数与自身成比例，但符号相反。在第15章中，我们发现确实存在这种函数——即正弦函数（或余弦函数），它具备这种特性。因此，我们可以直接推测解的形式为 \(y = A \sin (nt + q)\)。但让我们通过计算来验证。
对原方程两边同时乘以 \(2\dfrac{dy}{dt}\) 并积分，得到：
\[
2\dfrac{d^2 y}{dt^2} \dfrac{dy}{dt} + 2x^2 y \dfrac{dy}{dt} = 0
\]
由于
\begin{align*}
2 \frac{d^2y}{dt^2}\, \frac{dy}{dt}
&= \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt}, \\
\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + n^2 (y^2-C^2) &= 0,
\end{align*}
其中 \(C\) 是一个常数。然后，取平方根，得到：
\begin{align*}
\frac{dy}{dt} &= -n \sqrt{ y^2 - C^2}\\
\frac{dy}{\sqrt{C^2 - y^2}} &= n · dt.
\end{align*}
可以证明（参见这里）：
\[
\frac{1}{\sqrt{C^2 - y^2}} = \frac{d (\arcsin \dfrac{y}{C})}{dy};
\]
因此，将变量从角度转换为正弦函数，得：
\begin{align*}
\arcsin \frac{y}{C} &= nt + C_1 \\
y &= C \sin (nt + C_1),
\end{align*}
其中 \(C_1\) 是通过积分引入的一个常数角度。
或者，更常见的写法为：
\[
y = A \sin nt + B \cos nt, \text{ }
\]
这即是该方程的解。
例(6)
\[
\dfrac{d^2 y}{dt^2} - n^2 y = 0
\]
这里，我们显然要处理的是一个函数 \(y\)，它的二阶导数与其本身成比例。我们已知唯一具有这种性质的函数是指数函数（参见这里），因此可以确定该方程的解将具有这种形式。
按照之前的步骤，通过两边同时乘以 \(2 \dfrac{dy}{dx}\) 并积分，得到：
\[
2\dfrac{d^2 y}{dx^2} \dfrac{dy}{dx} - 2x^2 y \dfrac{dy}{dx}=0
\]
由于
\begin{align*}
2\frac{d^2 y}{dx^2}\, \frac{dy}{dx}
&= \frac{d \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dx}, \\
\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - n^2 (y^2 + c^2) &= 0, \\
\frac{dy}{dx} - n \sqrt{y^2 + c^2} &= 0,
\end{align*}
其中 \(c\) 是常数，且
\[
\dfrac{dy}{\sqrt{y^2 + c^2}} = n dx
\]
假设
\begin{align*}
\quad w &= \log_\epsilon ( y+ \sqrt{y^2+ c^2}) \\
&= \log_\epsilon u,\\
\frac{dw}{du} &= \frac{1}{u}, \\
\frac{du}{dy} &= 1 + \frac{y}{\sqrt{y^2 + c^2}} \\
&= \frac{y + \sqrt{ y^2 + c^2}}{\sqrt{y^2 + c^2}}
\end{align*}
因此
\[
\frac{dw}{dy} = \frac{1}{\sqrt{ y^2 + c^2}}.
\]
由此积分可得：
\begin{align*}
\log_\epsilon (y + \sqrt{y^2 + c^2} ) &= nx + \log_\epsilon C, \\
y + \sqrt{y^2 + c^2} &= C \epsilon^{nx}.
\tag*{(1)} \\
\end{align*}
我们还知道
\begin{align*}
( y + \sqrt{y^2 + c^2} ) × ( -y + \sqrt{y^2 + c^2} ) &= c^2 ; \\
-y + \sqrt{y^2 + c^2} &= \dfrac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}.
\tag*{(2)}
\end{align*}
将 (2) 从 (1) 中相减并除以 2，得到：
\[
y = \frac{1}{2} C \epsilon^{nx} - \frac{1}{2} \frac{c^2}{C} \epsilon^{-nx},
\]
这可以更方便地写为：
\[
y = A \epsilon^{nx} + B \epsilon^{-nx}.
\]
或者说，这个解表明 \(y\) 包含两个部分：一个随着 \(x\) 增大而呈指数增长，另一个则随着 \(x\) 增大而指数衰减。虽然乍看之下似乎与原方程关系不大，但这的确是方程的解。
例(7)
设
\[
b \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + gy = 0.
\]
检查这个表达式可以发现，如果 \(b = 0\)，其形式就变为例1的形式，其解是负指数函数。另一方面，如果 \(a = 0\)，其形式就变为例6的形式，其解是正指数与负指数之和。因此，不难理解，当前例子的解是：
\begin{align*}
y &= (\epsilon^{-mt})(A \epsilon^{nt} + B \epsilon^{-nt}), \\
m &= \frac{a}{2b} \\
n &= \sqrt{\frac{a^2}{4b^2}} - \frac{g}{b}.
\end{align*}
推导这一解的步骤在这里不再给出，感兴趣的读者可以参考高级数学著作。
例(8)
\[
\frac{d^2y}{dt^2} = a^2 \frac{d^2y}{dx^2}.
\]
如这里所见，这个方程来源于如下表达式：
\[
y = F(x+at) + f(x-at),
\]
其中 \(F\) 和 \(f\) 是 \(t\) 的任意函数。
另一种处理方法是通过变量变换将其化为：
\[
\frac{d^2y}{du · dv} = 0,
\]
其中 \(u = x + at\)，\(v = x - at\)，这将导出相同的通解。如果我们考虑 \(F\) 消失的情况，则有：
\[
y = f(x-at);
\]
这表明，当 \(t = 0\) 时，\(y\) 是 \(x\) 的一个特定函数，可以看作 \(y\) 与 \(x\) 的关系曲线具有特定形状。然后，\(t\) 值的任何变化都等效于 \(x\) 原点的平移。换句话说，这意味着函数形式保持不变，并以恒定速度 \(a\) 沿 \(x\) 方向传播；无论在时间 \(t_0\) 时任意点 \(x_0\) 的 \(y\) 值是什么，在时间 \(t_1\) 时，相同的 \(y\) 值将在另一个位置 \(x_0 + a(t_1 - t_0)\) 出现。在这种情况下，简化的方程表示波（无论其形状如何）以恒定速度沿 \(x\) 方向传播。
如果微分方程写作：
\[
m \frac{d^2y}{dt^2} = k \frac{d^2y}{dx^2},
\]
解的形式将保持不变，但传播速度的值将为：
\[
a = \sqrt{\frac{k}{m}}.
\]
现在，你已被引领着穿越边界，进入数学这片迷人的领域。为了便于查阅主要结果，作者在此告别，并附赠一份方便的标准形式汇总表作为通行证。表中间列列出了常见的函数；左列给出了它们的微分结果，右列则列出了积分结果。希望你会发现它们的实用性！
