微分是这样一种过程：当已知 \(y\) 是 \(x\) 的函数时，我们可以求得 \(\dfrac{dy}{dx}\)。
像其他所有数学运算一样，微分过程可以被逆转。例如，若对 \(y = x^4\) 求导，我们得到 \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\)；如果从 \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\) 开始逆转过程，则会得出 \(y = x^4\)。然而，这里出现了一个有趣的现象：如果我们求 \(x^4\) 或 \(x^4 + a\) 或 \(x^4 + c\) 或 \(x^4\) 加上任何一个常数的导数，会得到 \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\)。因此，很明显，当从 \(\dfrac{dy}{dx}\) 反推到 \(y\) 时，必须考虑可能存在一个加上的常数，其值需要通过其他方式确定。因此，如果微分 \(x^n\) 得到 \(nx^{n-1}\)，那么从 \(\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}\) 逆向推回 \(y\)，会得到 \(y = x^n + C\)，其中 \(C\) 表示未确定的常数。
显然，对于 \(x\) 的幂次运算，逆向求解的规则是：将幂次增加 \(1\)，然后除以增加后的幂次，再加上未确定的常数。
因此，当
逆向求解得到：
如果微分 \(y = ax^n\) 得到
那么显而易见，从
逆向求解会得到：
因此，当涉及乘以一个常数时，只需将该常数作为积分结果的乘数即可。
例如，若 \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^2\)，逆向过程会得到 \(y = \frac{4}{3}x^3\)。
但这并不完整。我们必须记住，如果最初是
其中 \(C\) 是任意常数，那么微分时同样会得到：
因此，在逆向求解时，我们必须始终记得加上这个未确定的常数，即使其具体值尚未确定。
这个过程——微分的逆运算，被称为“积分”，因为它是在已知 \(dy\) 或 \(\dfrac{dy}{dx}\) 的表达式时，求解整个 \(y\) 的值在此之前，我们尽量将 \(dy\) 和 \(dx\) 保持为一个整体的微分系数；而从现在起，我们更经常需要将它们分开来看。
例如，从一个简单的例子开始：
可以将其写成：
这是一个“微分方程”，表示 \(y\) 的一个微小量等于对应的 \(x\) 的微量乘以 \(x^2\)。我们需要的是它的积分，因此用积分符号表达如下：
【注：关于积分的阅读方式，上式可读作：“积分 dy 等于积分 x 平方 dx】
积分还没有完成：我们只是写下了积分的步骤——如果我们能够进行的话。那么试试吧。许多其他人都能做到——为什么我们不能呢？左边的部分极为简单：所有 \(y\) 的微小部分加起来，就是 \(y\) 本身。所以我们可以直接写出：
但是，处理方程右侧时，必须记住，我们需要加总的不只是所有的 \(dx\)，而是所有像 \(x^2\, dx\)；而这并不等同于 \(x^2 \int dx\)，因为 \(x^2\) 并不是一个常数。根据 \(x\) 的具体取值，一些 \(dx\) 会被乘以较大的 \(x^2\) 的值，而另一些会被乘以较小的 \(x^2\) 的值。所以我们必须认真思考关于积分这个过程的规则——积分是微分的逆运算。现在，回顾一下之前提到的规则，当处理 \(x^n\) 时，逆向求解的规则是“将幂次增加 1，然后除以增加后的幂次”。也就是说，\(x^2\, dx\) 会变成 \(\frac{1}{3} x^3\)。将其代入方程，但不要忘记最后加上“积分常数”\(C\)。于是我们得到：
你已经完成了积分。多么简单！
你可能会问：最后那个小 \(dx\) 怎么消失了呢？请记住，它实际上是微分系数的一部分，而当它被移到右侧时，就像 \(x^2\, dx\) 中那样，它的作用是提醒我们，\(x\) 是积分操作所针对的自变量；在积累的过程中，\(x\) 的幂次增加了1。这一点你很快就会熟悉。
再试一个简单的例子。令
其中 \(a\) 是一个常数乘子。我们已经知道，在微分时（参见之前的说明），\(y\) 中的任何常数因子都会原封不动地出现在 \(\dfrac{dy}{dx}\) 的值中。在积分的逆向过程中，它也会原封不动地出现在 \(y\) 的值中。因此我们可以像之前一样操作：
这就完成了。多么简单！
我们现在逐渐意识到，积分是一种“找回路径”的过程，与微分形成对比。如果在微分的过程中，我们得到了某个特定的表达式——例如 \(y\)，可以通过积分找回它是从哪个 \(y\) 推导而来的。微分和积分这两种过程的差异可以通过以下比喻说明：如果一位陌生人被送到特拉法加广场，并被告知找到尤斯顿火车站，他可能会觉得任务无从下手。但如果之前有人带着他从尤斯顿火车站到特拉法加广场，那么他要找到回尤斯顿火车站的路会相对容易得多。
两个函数的和或差的积分
令
则
没有理由不将每一项单独积分。正如之前所见，当微分两个独立函数的和时，微分结果只是两个单独微分的和。因此，积分作为逆过程，将是两个单独积分的和。
我们的积分步骤如下：
如果其中某一项是负数，则积分中的对应项也将是负数。因此，差分和求和一样容易处理。
如何处理常数项
假设需要积分的表达式中有一个常数项，例如：
这就极其简单了。只需记住，当我们微分 \(y = ax\) 时，结果是 \(\dfrac{dy}{dx} = a\)。因此，当我们反过来积分时，常数会重新以 \(x\) 的乘数的形式出现。所以我们得到：
以下是一些例子，供你尝试新学到技能。
例子
(1) 已知 \(\dfrac{dy}{dx} = 24x^{11}\)，求 \(y\)。
答案 \(y = 2x^{12} + C\).
(2) 求 \(\int (a + b)(x + 1)\, dx\).
取出常数 \((a + b) \int (x + 1)\, dx\)，即 \((a + b) \left[\int x\, dx + \int dx\right]\)，\((a + b) \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right) + C\)
(3) 根据 \(\dfrac{du}{dt} = gt^{\frac{1}{2}}\)，求 \(u\).
答案 \(u = \frac{2}{3} gt^{\frac{3}{2}} + C\).
(4) \(\dfrac{dy}{dx} = x^3 - x^2 + x\). 求 \(y\).
(5) 求 \(9.75x^{2.25}\, dx\) 的积分
答案 \(y = 3x^{3.25} + C\).
这些例子都很简单。我们试试另一个案例。
令
按照之前的步骤，我们可以写为：
那么，\(x^{-1}\, dx\) 的积分是什么呢？
回顾一下我们对 \(x^2\)、 \(x^3\) 和 \(x^n\) 等的微分结果, 你会发现我们从来没有通过微分得到过 \(x^{-1}\) 的结果。从 \(x^3\) 得到 \(3x^2\)，从 \(x^2\) 得到 \(2x\)， 从 \(x^1\) 得到 \(1\) (也就是 \(x\) 本身)。但我们没有从 \(x^0\) 得到过 \(x^{-1}\)，而且有两个重要的原因：首先，\(x^0\) 就是 \(1\)，是一个常数，而常数没有微分系数。其次，即使它可以被微分，其微分结果（按照规则）会是 \(0 × x^{-1}\)，而乘以 0 的结果为 0！因此，当我们现在尝试对 \(x^{-1}\, dx\) 积分时，我们会发现它并不符合以下规则中的任何一种：
这是一个特殊情况。
那么，我们再试试。从 \(x\) 的各种函数中找到它们的微分结果，看看是否能找到 \(x^{-1}\)。经过充分的搜索，你会发现，确实在对 \(y = \log_\epsilon x\) 微分时得到了 \(\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}\)。
既然我们知道微分 \(\log_\epsilon x\) 会得到 \(\log_\epsilon x\)，那么反过来，积分 \(dy = x^{-1}\, dx\) 会得到 \(y = \log_\epsilon x\)。但我们不能忘记题目中给出的常数 \(a\)，也不能漏掉积分中未定的常数 \(y = \log_\epsilon x\)。因此，此题的解为：
请注意一个非常有趣的事实，在上述情况下，如果我们不知道对应的微分关系，是无法进行积分的。如果没有人发现微分 \(\log_\epsilon x\) 会得到 \(x^{-1}\)，那么对于如何积分 \(x^{-1}\, dx\)，我们将毫无办法。实际上，这正是积分学的一个奇特特点：在你进行积分之前，必须通过微分过程先找到对应的表达式。即使到了今天，人们仍然无法找到以下表达式的一般积分：
因为 \(a^{-x^2}\) 从未被发现是由微分任何东西得到的结果。
另一个简单的例子
求 \(\int (x + 1)(x + 2)\, dx\)。
观察被积分的函数，你会发现它是两个 \(x\) 函数的乘积。你可能会想，将 \((x + 1)\, dx\) 或 \((x + 1)\, dx\) 分别积分。当然可以。但如何处理一个乘积呢？目前为止，你学过的微分法则并没有得到像这样的乘积形式的微分系数。没有这样的规则，我们可以采用最简单的办法——将两个函数展开相乘，然后积分。得到：
这相当于：
进行积分后，得到：
一些其他积分
现在我们知道积分是微分的逆过程，可以直接查阅已知的微分系数，并寻找它们的原函数。这就给出了以下现成的积分公式：
因为如果 \(y = - \dfrac{1}{\epsilon^x}\)，那么 \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\epsilon^x × 0 - 1 × \epsilon^x}{\epsilon^{2x}} = \epsilon^{-x}\)。
我们还可以推导出以下结果：
因为如果 \(y = x \log_\epsilon x - x\)，那么 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \log_\epsilon x - 1 = \log_\epsilon x\)。
因为如果 \(y = \sin ax\)，那么 \(\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax\)，因此要得到 \(\cos ax\)，需要对 \(y = \dfrac{1}{a} \sin ax\) 进行微分。
再试试 \(\cos^2\theta\) 的积分。一个小技巧可以简化运算：
因此：
所以：
还可以参考标准形式表。建议你自己制作一张这样的表格，填入所有你成功微分和积分过的通用函数。要确保它不断完善！
关于双重积分和三重积分
在许多情况下，必须对包含两个或多个变量的表达式进行积分，这时积分符号会出现多次。例如：
表示需要对某个关于变量 \(x\) 和 \(y\) 的函数分别积分。积分的顺序无关紧要。例如，取函数 \(x^2 + y^2\)，先对 \(x\) 积分得到：
接下来，对上述结果对 \(y\) 再次积分：
当然，还需要加上一个积分常数。如果交换积分顺序，结果也是相同的。
在处理曲面的面积或立体的体积时，常需要对长度和宽度进行积分，因此会出现如下形式的积分：
其中 \(u\) 是某个在每个点上依赖于 \(x\) 和 \(y\) 的属性。这被称为一个曲面积分，表示需要将所有这样的元素 \(u · dx · dy\) 的值（也就是 \(u\) 在一个小矩形区域 \(dx\) 长、\(dy\) 宽上的值）在整个长度和宽度范围内求和。
类似地，在处理立体时，需要考虑三维空间。对于任意体积元素，一个小立方体，其边长分别为 \(dx\)、\(dy\) 和 \(dz\)。如果立体的形状由函数 \(f(x, y, z)\) 表示，则整个立体的体积积分为：
自然，这样的积分需要在每个维度上使用适当的积分限（详见这里关于定积分的上下限）。在进行积分时，必须知道表面的边界如何依赖于 \(x\)、\(y\) 和 \(z\)。如果 \(x\) 的积分范围时从 \(x_2\) 到 \(y_1\)，\(y\) 的范围时从 \(y_1\) 到 \(y_2\)，\(z\) 的范围从 \(z_1\) 到 \(z_2\)，那么显然：
当然，还有许多复杂而困难的情况；但总体而言，这些符号的意义很容易理解，它们表示需要在给定的曲面或整个立体空间内执行某种积分操作。