部分分式
我们已经看到，对一个分式进行求导时，需要执行一个相当复杂的操作。如果分式本身并不是一个简单的分式，结果一定会是一个复杂的表达式。如果能将分式分解为两个或多个较简单的分式，使它们的和等于原始分式，那么就可以分别对这些较简单的表达式求导。这样，求导的结果就是两个（或更多）相对简单的导数的和，最终的表达式当然和不用这种技巧直接求导得到的结果是一样的，但使用这种方法可以更轻松地完成，并且以更简化的形式呈现结果。
我们看看如何实现这个目标。首先尝试将两个分式相加以形成一个合成分式。比如，取两个分式 \(\dfrac{1}{x+1}\) 和 \(\dfrac{2}{x-1}\)。任何中学生都能将它们相加，得到 \(\dfrac{3x+1}{x^2-1}\)。同样地，也可以将三个或更多的分式相加。显然，这个过程是可以逆转的：也就是说，如果给出最后的表达式，可以肯定它可以以某种方式分解回其原始成分或部分分式。只是，我们并不总是知道每种情形下的分式该如何分解。为了弄清楚这一点，首先从一个简单的情况开始。但重要的是要记住，以下讨论只适用于所谓的“真”代数分式，这意味着分式如上例所示，其分子的次数低于分母；即分子中 \(x\) 的最高指数小于分母中 \(x\) 的最高指数。如果遇到的是像 \(\dfrac{x^2+2}{x^2-1}\) 这样的表达式，可以通过除法简化，因为它等价于 \(1+\dfrac{3}{x^2-1}\)；其中 \(\dfrac{3}{x^2-1}\) 是一个真代数分式，可以按照接下来解释的方法将其分解为部分分式。
情况 I
如果对多个分母中只包含 \(x\) 的一次项（没有 \(x^2\)、\(x^3\) 或更高次项）的分式进行相加运算，我们总是会发现，最终分式的分母是组成该分式的各分母的乘积。因此，通过对最终分式的分母进行因式分解，我们可以找到组成该分式的部分分式的所有分母。
假设我们希望将 \(\dfrac{3x+1}{x^2-1}\) 分解为已知的 \(\dfrac{1}{x+1}\) 和 \(\dfrac{2}{x-1}\) 的形式。如果不知道这些成分是什么，可以通过如下方式准备：
先将分母写出，并在分子位置留空，直到知道应该填入什么为止。我们总是假设部分分式之间的符号是加号，因为如果符号是减号，把相应的分子当作负数即可。由于部分分式是真分式，其分子不会包含 \(x\)，只是常数，我们可以用 \(A\)，\(B\)，\(C\) 等符号表示它们。因此，在此例中，我们可以写为：
现在，如果将这两个部分分式相加，会得到：
这必然等于
由于这两个表达式的分母相同，其分子必须相等，因此：
这是一个含两个未知数的方程，似乎我们需要另一个方程才能解出 \(A\) 和 \(B\)。然而，还有一种更简单的方法来解决这个问题。这个方程对于 \(x\) 的所有取值都成立；因此，它也必须对使 \(x-1\) 和 \(x+1\) 变为零的 \(x\) 值成立，即 \(x=1\) 和 \(x=-1\)。当 \(x=1\) 时： \(4 = (A × 0)+(B × 2)\)，因此 \(B=2\)。当 \(x=-1\) 时：\(-2 = (A × -2) + (B × 0)\)，因此 \(A=1\)。将部分分式的 \(A\) 和 \(B\) 替换为这些值，得到： \(\dfrac{1}{x+1}\) 和 \(\dfrac{2}{x-1}\)，这就是所求的分解结果。
再看一个例子，设有分式
分母在 \(x=1\) 时变为零，因此 \(x-1\) 是其一个因式；显然，另一个因式是 \(x^2 + 4x + 3\)。对其继续因式分解，得 \((x+1)(x+3)\)。于是，分式可以写为：
表示为三个部分分式。
按照前述方法，展开并将等式两边分子相等：
当 \(x=1\) 时：
当 \(x=-1\) 时：
当 \(x=-3\) 时：
部分分式分解为：
这比原来的复杂表达式更容易对 \(x\) 求导。
情况 II
如果分母的一些因式包含 \(x^2\) 项，且无法方便地进一步因式分解，则对应的分子可能包含一个 \(x\) 项以及一个常数项；因此需要将未知分子表示为 \(Ax + B\)，而不是用符号 \(A\)，其余计算过程与之前一致。例如，考虑以下分式：
令 \(x= -1\)，得到 \(-4 = C × 2\)，即 \(C = -2\)；因此
令 \(x = 0\)，得到 \(-1 = B\)，因此
所以 \(A=1\)，分解后的部分分式为：
再看另一个例子：
我们可以写为：
在这种情况下，确定 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 并不那么容易。可以按照以下方法简化：由于给定的分式与通过相加部分分式得到的分式是相等的，并且它们具有相同的分母，因此分子的形式也必须完全相同。在这种情况下，对于我们正在处理的此类代数表达式，相同次幂的 \(x\) 的系数必须相等且符号相同。
因此我们有：
得到：\(1=A+C\)；\(0=B+D\)(左边表达式中的 \(x^2\) 系数为零)；\(0=2A+C\); 和 \(-2=2B+D\)。这里有四个方程式，很容易解得 \(A=-1\)，\(B=-2\)，\(C=2\)，\(D=0\)，分解的部分分式为
这种方法适用于所有情况；但当分母只包含 \(x\) 的一次项时，前述方法通常更快速。
情况 III
如果分母的某些因式被提升到某次幂，则需要考虑可能存在以这些因式的不同次幂为分母的部分分式。例如，在分拆分式 \(\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}\) 时，必须考虑可能的分母包括 \(x+1\)，\((x+1)^2\) 和 \((x-2)\)。
此外，由于分母为 \((x+1)^2\) 的分式的分子可能包含 \(x\) 项，需写成 \(Ax+B\) 的形式，因此：
如果在上述情况下尝试求解 \(A\)、\(B\)、\(C\) 和 \(D\)，我们会失败，因为未知数有四个，而仅有三个方程约束它们。然而：
如果写成：
则有：
令 \(x=2\)，得到 \(C=1\)。用该值代替 \(C\)，并整理、合并同类项后除以 \(x-2\)，得到：\(-2x= A+B(x+1)\)，令 \(x = -1\)，得到 \(A = -2\)。用该值代替 \(A\)，进一步化简：
因此，\(B = 2\)；部分分式为：
而不是之前提到的分式 \(\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}\)。这种差异的原因在于，\(\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\) 本身可以进一步分解为 \(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}\)，因此原分式实际上等价于：
这与部分分式分解的最终结果一致。
由此可见，只需在每个分子中考虑一个数值项，就足以得到最终的部分分式。
然而，如果分母包含 \(x^2\) 的幂因式，则对应的分子必须采用 \(Ax + B\) 的形式。例如：
由此得：
令 \(x = -1\)，得到 \(E = -4\)。用该值代替 \(E\)，整理并合并同类项后除以 \(x + 1\)，得到：
比较系数，得到：\(2C = 16\)，即 \(C = 8\)；\(2D = -16\)，即 \(D = -8\)；\(A - C = 0\) 即 \(A - 8 = 0\)，\(A = 8\)，最后 \(B - D = 3\)，即 \(B = -5\)。因此部分分式分解为：
验证结果是有用的。最简单的方法是将 \(x\) 替换为一个具体值（例如 \(+1\)），分别代入原表达式和分解后的部分分式。
当分母仅包含单一因式的幂时，可以采用一种快速方法：
以 \(\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}\) 为例，令 \(x + 1 = z\)，则 \(x = z - 1\)。
替换后得到：
因此部分分式为：
应用于微分。例如需要对 \(y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}\) 求导：
如果将原表达式分解为：
求导后得到：
这实际上与上述分式求导后结果相同，只是形式不同。很容易看出来，如果在求导后分解，会更加复杂。当处理类似表达式的积分时，我们会发现部分分式分解是一种非常有用的工具。