有时，我们会发现需要求导的表达式过于复杂，直接处理很困难。
例如，方程：
\[
y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}
\]
对于初学者来说可能显得很棘手。
现在，解决这一难题的技巧是：用某个符号（如 \(u\)）代替表达式 \(x^2 + a^2\)；于是方程变为：
\[
y = u^{\frac{3}{2}},
\]
这就容易处理了，因为：
\[
\frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}.
\]
接着处理表达式：
\[
u = x^2 + a^2,
\]
并对其关于 \(x\) 求导：
\[
\frac{du}{dx} = 2x.
\]
然后其余部分就简单了：
因为
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx};
\]
即：
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}
&= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} × 2x \\
&= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} × 2x \\
&= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}};
\end{align*}
这样问题就解决了。
随着学习深入，当你掌握处理正弦、余弦和指数函数的方法时，会发现这一技巧越来越有用。
例子
让我们用几个例子练习这一技巧。
(1) 对 \(y = \sqrt{a+x}\) 求导。
设 \(a+x = u\)。
\begin{align*}
\frac{du}{dx} &= 1; \\
y &= u^{\frac{1}{2}}; \\
\frac{dy}{du} &= \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \\
&= \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}. \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{a+x}}.
\end{align*}
(2) 对 \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}\) 求导。
设 \(a + x^2 = u\)。
\begin{align*}
\frac{du}{dx} &= 2x;\\
y &= u^{-\frac{1}{2}}; \\
\frac{dy}{du} &= -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}. \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} \\
&= - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}.
\end{align*}
(3) 对下式求导：
\[
y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a
\]
设 \(m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u\)。
\begin{align*}
\frac{du}{dx} &= -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}; \\
y &= u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} \\
&= -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1}
(\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}).
\end{align*}
(4) 对 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}\) 求导。
设 \(u = x^3 - a^2\)。
\begin{align*}
\frac{du}{dx} &= 3x^2;\\
y &= u^{-\frac{1}{2}};\\
\frac{dy}{du} &= -\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} \\
&= -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}.
\end{align*}
(5) 对 \(y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\) 求导。
将其写为
\[
y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}} \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}} \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}.
\]
(也可以写为 \(y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}\)，然后按乘积法则求导。)
如例 (1) 所示，计算得到：
\[
\frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}};
\]
和
\[
\frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}.
\]
因此
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}
&= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}}
- \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\
&= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\
&= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.
\end{align*}
(6) 求导。
\[
y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}
\]
可以写为：
\begin{align*}
y &= x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\
\frac{dy}{dx}
&= \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}
+ x^{\frac{3}{2}} × \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}.
\end{align*}
根据例 (2) 中的方法，对 \((1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\) 求导，得到：
\[
\frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}};
\]
因此：
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}
&= \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} \\
&= \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}.
\end{align*}
(7) 求导：
\[
y=(x+\sqrt{x^2+x+a})^3
\]
令 \(x+\sqrt{x^2+x+a}=u\)。
\begin{align*}
\frac{du}{dx} &= 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\
y &= u^3;\\
\frac{dy}{du} &= 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2.
\end{align*}
令 \((x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v\)， 而 \((x^2+x+a) = w\)，有：
\begin{align*}
\frac{dw}{dx}
&= 2x+1; \\
v &= w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\
\frac{dv}{dx}
&= \frac{dv}{dw} × \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\
\frac{du}{dx}
&= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\
\frac{dy}{dx}
&= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}\\
&= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2
\left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right).
\end{align*}
(8) 求导：
\[
y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}
\]
可将其写为：
\begin{align*}
y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}}
{(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}}
= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\
\frac{dy}{dx}
&= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx}
+ \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}.
\end{align*}
令 \(u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\)，\(v = (a^2 - x^2)\)，则有
\begin{align*}
u &= v^{-\frac{1}{6}};\quad
\frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad
\frac{dv}{dx} = -2x. \\
\frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} × \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}.
\end{align*}
令 \(w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}\)，\(z = (a^2 + x^2)\)，则有。
\begin{align*}
w &= z^{\frac{1}{6}};\quad
\frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad
\frac{dz}{dx} = 2x. \\
\frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} × \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}.
\end{align*}
因此
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}
&= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}}
+ \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\
\frac{dy}{dx}
&= \frac{x}{3}
\left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}}
+ \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right].
\end{align*}
(9) 对 \(y^n\) 关于 \(y^5\) 求导。
\[
\frac{d(y^n)}{d(y^5)} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}.
\]
(10) 对 \(y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}\) 求一阶和二阶导数。
\[
\frac{dy}{dx}
= \frac{x}{b}\,
\frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx}
+ \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}.
\]
令 \(\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u\)，\((a-x)x = w\)，则 \(u = w^{\frac{1}{2}}\)，有：
\begin{align*}
&\frac{du}{dw}
= \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}}
= \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}. \\
&\frac{dw}{dx} = a-2x.\\
&\frac{du}{dw} × \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}.
\end{align*}
因此：
\[
\frac{dy}{dx}
= \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}
= \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.
\]
接下来
\begin{align*}
\frac{d^2y}{dx^2}
&= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x)
- \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}}
{4b^2(a-x)x} \\
&= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}.
\end{align*}
（本导数在后续章节会用到，详见第12章练习11。）