让我们尝试重复多次对一个函数进行求导操作的效果（参见此处）。们从一个具体的例子开始。
设 \(y = x^5\)。
第一次求导：
\[
5x^4.
\]
第二次求导：
\[
5 × 4x^3 = 20x^3.
\]
第三次求导,：
\[
5 × 4 × 3x^2 = 60x^2.
\]
第四次求导：
\[
5 × 4 × 3 × 2x = 120x.
\]
第五次求导：
\[
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
\]
第六次求导：
\[
= 0.
\]
有一种我们已经熟悉的记号（参见此处），一些作者会使用它，因为非常方便。这个记号是使用一般符号 \(f(x)\) 表示任意 \(x\) 的函数。在这里符号 \(f( )\) 表示“函数”，不需要说明具体是哪个函数。因此，表达式 \(y=f(x)\) 仅仅说明 \(y\) 是 \(x\) 的一个函数，可能是 \(x^2\) 或 \(ax^n\)，或 \(\cos x\)，或任何其他关于 \(x\) 的复杂函数。
对应的导数符号是 \(f'(x)\)，它比 \(\dfrac{dy}{dx}\) 更简洁。这被称为 \(x\) 的“导函数”。
假设我们再次求导，就会得到“第二导函数”或二阶导数，记为 \(f''(x)\)；以此类推。
现在我们来进行推广。
设 \(y = f(x) = x^n\)。
第一次求导：
\[
f'(x) = nx^{n-1}.
\]
第二次求导：
\[
f''(x) = n(n-1)x^{n-2}.
\]
第三次求导：
\[
f'''(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}.
\]
第四次求导：
\[
f''''(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}.
\]
等等，以此类推。
但是，这不是表示连续求导的唯一方法。
如果原始函数是
\[
y = f(x);
\]
一次求导得到
\[
\frac{dy}{dx} = f'(x);
\]
二次求导得到
\[
\frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} = f''(x);
\]
这更方便地写为
\[
\dfrac{d^2y}{(dx)^2}
\]
或者更常见的是写成
\[
\dfrac{d^2y}{dx^2}
\]
类似地，我们可以写出三次求导的结果
\[
\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)
\]
例子
现在让我们尝试 \(y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2\)。
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\
\frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\
\frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\
\frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\
\frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0.
\end{align*}
以类似的方式，如果 \(y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)\),
\begin{align*}
\phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x × 2x + (x^2 - 4) × 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\
\phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 × 6x = 18x, \\
\phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\
\phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0.
\end{align*}